Cómo encontrar la distribución conjunta de $\min(U_0,U_1)$ y $\min(U_1,U_2)$ donde $(U_0,U_1,U_2)$ son i.i.d Uniformes?

Question

Tengo esta pregunta de tarea donde hay 3 variables aleatorias $(U_0,U_1,U_2)$ que son independientes y uniformes en el intervalo $[-1,1]$ .

Tengo otras dos variables aleatorias $(X,Y)$ definidos de la siguiente manera: $$X=\min(U_0,U_1)\quad,\quad Y=\min(U_1,U_2)$$

Me piden que encuentre el pdf conjunto de $X$ y $Y$ .

Tengo algunas ideas aproximadas pero cualquier pista que sugiera cómo resolver esto es muy apreciada. Muchas gracias de antemano.

Para $X$ He calculado $$P(X=x)$$ de la siguiente manera: $$P(X=x)=P(U_0>x|U_1=x) \,\,\, \cup \,\,\, P(U_1>x|U_0=x)$$ y como éstas pertenecen a espacios de probabilidad diferentes y $U_0$ y $U_1$ son independientes: $$P(X=x)=P(U_0>x)+P(U_1>x)$$

¿Va bien hasta ahora?

Answer 1

Aquí hay una pista para un posible enfoque algebraico:

La idea es utilizar el hecho de que para cualquier $k$ , $$U_0,U_1,U_2>k \iff \min(U_0,U_1,U_2)>k$$

Tenga en cuenta que, en la línea de $$P(A\cap B^c)=P(A)-P(A\cap B)$$ podemos escribir

$$P(Y>y,X\le x)=P(Y>y)-P(Y>y,X>x)\tag{1}$$

Encuentre el conjunto de valores admisibles de $(x,y)$ es decir, el apoyo de $(X,Y)$ .

Entonces, utilizando la idea anterior, tenemos para todos $(x,y)$ ,

\begin{align} P(X\le x,Y\le y)&=P(X\le x)-P(X\le x,Y>y) \\&=1-P(X>x)-P(Y>y)+P(X>x,Y>y)\qquad,\text{ using }(1) \\&=1-P(U_0,U_1>x)-P(U_1,U_2>y)+P(U_0,U_1>x\,,\,U_1,U_2>y) \\&=1-P(U_0>x,U_1>x)-P(U_1>y,U_2>y) \\&\quad +P(U_0>x,U_1>\max(x,y),U_2>y) \end{align}

Simplificando lo anterior se obtendría la función de distribución conjunta de $(X,Y)$ .

La densidad conjunta es entonces $$f_{X,Y}(x,y)=\frac{\partial^2 }{\partial x\partial y}P(X\le x,Y\le y)\quad,\text{ for all }(x,y)$$