Cuestiones sobre el problema de los grandes inventarios

Question

El problema.

La cuestión a la que me refiero es el problema de la gran intesidad de las teorías gauge no abelianas asintóticamente libres. Puedes leer sobre ello en:

• [1.] El artículo 15 del 't Hooft de 1976 sobre el lagrangiano efectivo inducido por instantones.
• [2.] Sección 9 (página 62) de Conferencias sobre los instantones .

Esto es básicamente lo que es: para $\mathrm{SU(N)}$ las teorías gauge (que admiten las Instantáneas de BPST ), la contribución dominante de las configuraciones de campo gauge a la integral de trayectoria (es decir, para los correlacionadores de quarks) proviene de un único campo de instantones.

$$ \begin{align} \langle\psi(x_1)\cdots\psi(x_n)\bar\psi(y_1)\cdots\bar\psi(y_m)\rangle&\sim\underset{(1)}{\underbrace{\int d\mathcal{M} \,\exp(-S_{\mathcal{M}})}}\times\\ &\underset{(2)}{\underbrace{\int \mathcal{D}\bar\psi\mathcal{D}\,\exp\left[\bar\psi(\gamma^\mu D(\mathcal{M})_{\mu}+m)\psi\right]\psi(x_1)\cdots\psi(x_n)\bar\psi(y_1)\cdots\bar\psi(y_m)}} \end{align}$$

donde $\int d\mathcal{M}$ es una integral sobre el espacio de moduli para un solo $k_{\textrm{winding}=-1}$ instantánea. El término (1) es una integral sobre este espacio de moduli, con la parte del campo gauge de la acción. El término (2) es la integral de trayectoria restante sobre $\psi$ y $\bar\psi$ en el fondo de un monopuesto $\mathcal{M}$ . El término (1) parece:

$$ d\mathcal{M} \,\exp(-S_{\mathcal{M}})\sim \frac{d\rho}{g^8(\mu)}\rho^{-5}\exp\left[-\frac{8\pi^2}{g^2(\mu)}+C_1 \ln(\mu\rho)\right] $$

donde hay un límite inferior en $\rho$ establecido por $1/\mu$ . Para las teorías gauge asintóticamente libres, el límite $\rho\rightarrow 0$ (en realidad $\rho\rightarrow 1/\mu$ y luego $\mu\rightarrow\infty$ ) está bien en el término (1), porque

$$g^2\sim 8\pi^2/b\ln(\mu\Lambda)+\mathrm{(subleading corrections)}$$

suponiendo que $b$ es lo suficientemente pequeño, que para la QCD lo es. Sin embargo, vemos que la aparentemente irrestricta $\rho\rightarrow \infty$ El límite IR no se controla - el término (1) diverge. Este es el problema de la gran cantidad de instantes, más o menos.

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Posibles resoluciones.

Así que aquí están las posibles resoluciones que uno podría pensar.

1. La integral $d\mathcal{M}$ ¡incluye necesariamente la integral fermiónica! Lo que quiero decir es que, para evaluar la función de correlación, primero debemos evaluar $(2)$ y, a continuación, evaluar $(1)$ - no están separados. ¿Qué ocurre si incluimos esta integral? ¿Podemos llegar a un lagrangiano efectivo para los fermiones después de integrar sobre estas configuraciones instantáneas? Tal vez eso proporcione un límite para grandes $\rho$ .

Esto es precisamente lo que respondió 't Hooft en [1.]. La respuesta corta es que no, el Lagrangiano efectivo para $\psi$ tiene el mismo gran $\rho$ cuestión.

2. Tal vez fuimos ingenuos al suponer que sólo dominan las configuraciones de un solo instantón. Tal vez debamos incluir también las configuraciones de múltiples instantones. Cuando integramos sobre sus radios colectivos $d\rho_1\cdots d\rho_n$ tal vez veamos un corte.

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Mis preguntas.

1. Los dos trabajos que he mencionado antes [1.][2.] resuelven esta cuestión de una forma muy extraña: muestran que si se incluye un campo de Higgs $\mathcal{L}_{\textrm{Higgs}}=-(D\phi)^{\dagger}(D\phi)-\mu^2\left(\phi^{\dagger}\phi-\nu^2\right)^2$ mediante un interesante método conocido como instantones restringidos, se puede demostrar que ahora el $d\rho$ integrando obtiene una contribución $\sim\exp\left[-c_2\rho^2-c_3\rho^4\ln(\nu\rho)\right]$ por lo que se corta rápidamente en grandes $\rho$ . Pero en el mundo real, no tenemos un campo de Higgs para el asintóticamente libre $\textrm{SU(3)}$ sector, es decir, ¡QCD! El campo de Higgs real sólo está en una representación no trivial para el sector electrodébil, que a nuestras escalas está muy débilmente acoplado y que no es asintóticamente libre. Quizás esto estaría bien si asumiéramos la existencia de un campo de Higgs superpesado para la QCD, cuya dinámica está básicamente alejada de nuestro mundo real (debido a su enorme masa).

2. Muchos periódicos modernos, como Supresión dinámica de grandes instantones (Munster & Kamp, 2001), dicen que en realidad los tamaños grandes de los instantones son suprimidos por las interacciones multi-instantáneas. No debemos integrar sobre el espacio de moduli de un instantón, sino sobre muchos instantones y anti-instantones. Así que si buscas configuraciones de instantones en la red, encontrarás efectivamente instantones que tienen una distribución en $\rho$ que va como $n(\rho)\sim\exp(-c\rho^2)$ para grandes $\rho$ es decir, no existe el problema de la gran cantidad de habitantes. Si esta es realmente la resolución del problema de los grandes instantones que es relevante para la realidad, ¿por qué alguien habla de introducir campos de Higgs y utilizar la complicada maquinaria de los instantones restringidos?

Answer 1

Coleman lo llamó famosamente una "vergüenza IR", no un problema IR, porque tiene lugar en un régimen en el que no podemos realizar cálculos fiables. La respuesta básica a tu pregunta es que, en general, el destino de los grandes instantones en la QCD no es una cuestión bien definida.

Algunos comentarios:

0. ¿Qué es el problema de los grandes instantones? Intentamos aplicar la aproximación semiclásica a la teoría de Yang-Mills y a la QCD. Encontramos un punto de silla no trivial, el instantón, con acción $S=8\pi^2/g^2$ . Debido a la invariancia de escala clásica, los instantones vienen en todos los tamaños, por lo que el punto de la silla de montar está etiquetado por una coordenada colectiva (moduli) $\rho$ que tenemos que integrar por encima. Esto parece un problema, porque la medida en el espacio de moduli (de nuevo, sólo por invariancia de escala) es $d\rho/\rho^5$ . Aquí, las fluctuaciones gaussianas alrededor de la silla de montar vienen al rescate, porque convierten $g^2$ a $g^2(\rho)\sim b\log(\rho\Lambda)$ . Ahora la integral es convergente en el UV (bien), pero diverge en el IR. En realidad no debería sorprendernos, porque el parámetro de expansión en la expansión semiclásica es $S\gg 1$ . Sin embargo, YM y QCD no tienen ningún parámetro adimensional que pueda determinar el valor de $S$ .

1. Los comentarios sobre Higgsing, etc., se refieren a una cuestión ligeramente diferente: ¿Existen teorías similares a la QCD (o escenarios en los que la QCD está acoplada a campos externos) en las que la expansión semiclásica sea rigurosa y se pueda resolver el destino de los grandes instantones?

2. La respuesta es sí, hay muchas teorías de este tipo: 1) QCD a gran temperatura. El cribado de Debye en el plasma de quarks y gluones actúa como un campo de Higgs coloreado, y la susceptibilidad topológica a $T\gg\Lambda_{QCD}$ es calculable . 2) QCD a gran densidad de bariones. De nuevo, el cribado de Debye en un líquido denso de quarks actúa como un vev de Higgs, véase, por ejemplo, aquí . 3) Extensiones supersimétricas de QCD o YM con campos de Higgs coloreados, la más famosa ${\cal N}=2$ SUSY YM, estudiado por Seiberg y Witten . 4) QCD compactada en variedades adecuadas, por ejemplo QCD en un círculo $R^3\times S^1$ (esto es básicamente QCD de temperatura finita, excepto que uno puede modificar las condiciones de contorno en el círculo), o en un toroide.

3. Algunos de estos escenarios son interesantes más allá de su régimen inmediato de aplicabilidad. Por ejemplo, en las teorías SUSY nos encontramos con casos en los que el cálculo semiclásico se puede realizar para grandes vev de Higgs o en un pequeño círculo y luego SUSY asegura que el resultado es correcto para cualquier vev de Higgs o tamaño de círculo (es decir, en un límite en el que el cálculo semiclásico es sensible a grandes instantones).

4. La QCD de celosía es una aproximación rigurosa a la QCD en el régimen fuertemente acoplado. En la QCD reticular podemos identificar pequeños instantones y estudiar su distribución . No podemos identificar los grandes instantones, porque los grandes instantones tienen campos débiles y una acción pequeña, por lo que no pueden distinguirse de las fluctuaciones perturbativas ordinarias. Sólo la carga topológica total $Q$ de una configuración se puede medir. No podemos determinar cómo $Q$ se descompone en el número de instantones y anti-instantones, $Q=N_+-N_-$ .

5. Se ha avanzado en el análisis de la (resurgente) expansión semiclásica. Para algunos observables genéricos $O$ $$ O = (a_0+a_1g^2 + a_2 g^4 + \ldots ) \\ + (b_0 + b_1 g^2 + \ldots) \exp(-8\pi^2/g^2) \\ + (c_0 + c_1 g^2 + \ldots ) \exp(-16\pi^2/g^2) + \ldots $$ que es una suma sobre el sector 0-instanton, 1-instanton, etc,. Se demostró que las ambigüedades en la suma de las series perturbadoras $a_i$ se anulan por las ambigüedades en $c_i$ y las ambigüedades en la suma $b_i$ están relacionados con las ambigüedades en $d_i$ etc. Esto se conoce como el programa de resurgimiento . Sin embargo, este programa sigue necesitando una escala externa (una escala de compactación, por ejemplo) para definir el acoplamiento $g$ . En la QCD a temperatura cero y sin escalas externas la dependencia del acoplamiento está fijada por la invariancia RG, y no hay parámetro de expansión.

6. Las ideas sobre la resolución del problema de los grandes instantones mediante efectos multi-instantónicos son declaraciones dependientes del modelo sobre lo que podría ocurrir en el régimen de acoplamiento fuerte. Obviamente, es cierto que existe una relación entre los instantones grandes y la interacción instantón-anti-instantón. Si los instantones son muy grandes, entonces también se solapan fuertemente. Sin embargo, el programa de resurgimiento deja claro que se trata de cuestiones distintas. Hay sistemas en los que los instantones grandes se eliminan introduciendo una escala, y el problema restante de instantones-anti-instantones se resuelve mediante la resurgencia.