Pregunta de correspondencia entre el jardinero y el topo

Question

En un plano, tengo un número infinito de agujeros en línea recta. Un topo se encuentra en uno de los agujeros y viajará $d$ número de agujeros cada mañana, y moverá ese número de agujeros en la misma dirección. No sabemos en qué agujero está el topo. Un jardinero quiere atrapar a este topo porque está destruyendo sus cultivos. Un jardinero sólo comprobará una vez cada noche en un agujero concreto. Si el topo está allí, lo atrapa. Si no está, el jardinero vuelve a casa. ¿Qué debe hacer el jardinero para que acabe atrapando al topo? (Suponiendo que exista un número infinito de días)

Lo que he probado:

Etiqueto los agujeros $...,-n, -n+1, -n+2,..., -2, -1, 0, 1, 2, 3, ..., n-2, n-1, n...$ . Supongo que si el topo empieza en el agujero $0$ y viajes $2$ pasos atrás, entonces está en el agujero $-2$ . Si el topo comienza en el agujero $0$ y viajes $2$ pasos hacia adelante, entonces él está en el agujero $2$ .

Supongamos que tanto el topo como el jardinero comienzan en el mismo agujero, y para simplificar, tanto el topo como el jardinero comienzan en el agujero $0$ . Qué puede hacer el agricultor: Comprobar el agujero $1$ el primer día, comprueba el agujero $-2$ en el segundo día, $6$ al tercer día, $-8$ en el cuarto día, $15$ en el quinto día, $-18$ en el sexto día En general, debería comprobar:

Agujero # = $n.\frac {-n}{2}$ si $n$ es par, y Agujero # = $n.\lfloor \frac {n+1}{2} \rfloor$ si $n$ es impar, donde $n$ es el $n^{th}$ día.

En mi declaración anterior, he demostrado que puedo formar una correspondencia uno a uno. Por ejemplo, $f(1)=1, f(2)=-1, f(3)=2, f(4)=-2,...$ . Por lo tanto, el jardinero es capaz de encontrar la manera de cazar los topos. Por lo tanto, aunque no sepa cuántos pasos da el topo al día o en qué dirección, el jardinero es capaz de localizarlo.

Este es el verdadero problema. El jardinero no sabe en qué agujero está el topo, ni cuántos pasos o en qué dirección se dirige el topo. ¿Qué puede hacer el jardinero para atrapar al topo finalmente?

Se agradece cualquier respuesta, pero espero que también puedas explicar por qué la respuesta funciona así. Gracias. ¡Sería bueno mostrarme cómo funciona una correspondencia uno a uno para esta pregunta también!

Answer 1

Si efectivamente la dinámica de la mole está totalmente determinada por la posición inicial $p$ y el desplazamiento por día $d$ (así que en cualquier día $n$ está en $p+nd$ ), entonces se trata de un número contable de posibilidades (el cardinal de $\Bbb Z\times\Bbb Z$ donde $(p,d)$ se toma de). El jardinero puede elegir una enumeración de $\Bbb Z\times\Bbb Z$ es decir, un mapa suryectivo $f:\Bbb N\to\Bbb Z\times\Bbb Z$ y luego para cada $n\in\Bbb N$ , dejando que $f(n)=(p,d)$ elegir el agujero $p+nd$ . Una vez que la enumeración alcanza los parámetros reales válidos para el topo, éste será capturado, y esto no puede dejar de ocurrir.