Sea la variable aleatoria X con pmf ... y sea Y=1/X. Encuentre la fdc de Y.

Question

Agradecería alguna ayuda sobre este problema.

"Que la variable aleatoria X tenga pmf $p_X(k)=\frac{1}{2^k}$ para $k=1,2,...$ y que $Y=\frac{1}{X}$ . Encuentre la fdc de $Y$ ."

Esta es mi solución: $F_Y(x) := P(Y\leqq x) = P(\frac{1}{X}\leqq x) = P(X \geqq \frac{1}{x}) = P(X>\frac{1}{x}) -P(X=\frac{1}{x}) = 1 - P(X\leqq\frac{1}{x}) + P(X=\frac{1}{x}) = 1 - F_X(\frac{1}{x}) + P_X(\frac{1}{x})$ .

Ahora observo que (ya que $X$ sólo pueden tomar valores enteros)

$F_X(x) = P(X\leqq x) = P(X \leqq [x])$ si $[\cdot]$ denota el redondeo de la parte entera (descendente) de $\cdot$ .

Esto es entonces igual a $\sum_{k=1}^{[x]} P_X(k)=\sum_{k=1}^{[x]} (\frac{1}{2})^k$

Y esto es después (suma geométrica) igual a

$1-(\frac{1}{2})^{[x]-1}$ .

Hasta aquí todo bien. (Creo).

Así,

$F_Y(x) = 1 + P(X=\frac{1}{x}) - P(X \leqq \frac{1}{x})$

Ahora no estoy seguro de cómo pensar.

Estoy pensando que $P(X=\frac{1}{x}) = p_X(\frac{1}{x}) $ si $x \in Q\setminus (0,1]^c$ O cero en otro lugar.

Es decir, porque $\frac{1}{x} \in \{1,2,3,...\} \implies x \in \{\frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{1}{3},...\}$ porque $X$ sólo puede tomar enteros positivos.

Y también

$P(X \leqq \frac{1}{x}) = P(X \leqq [\frac{1}{x}]) = F_X(\frac{1}{x})$ si $x \in (0,1]\subseteq $ y cero en el resto.

La respuesta a la pregunta en mi libro de texto dice que

"Si $x=1/n$ para algún número entero n, entonces $F_Y(x) = (1/2)^{n-1}$ para otros $x \in (0,1]$ , $F_Y(x)=(1/2)^{[1/x]}$ ."

No entiendo lo que quieren decir. ¿Es mi solución correcta, y si no, qué estoy haciendo mal? ¿Cómo se traduce la respuesta de mi libro de texto a la mía de arriba?

Gracias.

Answer 1

No he pasado por alto su solución (todavía) pero le daré algunas pautas para resolverlo.

Si una variable aleatoria $Y$ es discreto y toma valores en algún conjunto contable $D$ entonces -si hay que determinar su FCD- es conveniente empezar por encontrar $P(Y=d)$ para $d\in D$ .

Después de eso, podemos establecer: $$F_Y(x)=\sum_{d\in D_x}P(Y=d)\tag1$$ donde $D_x=D\cap(-\infty,x]$ y nuestro último paso es calcular la RHS de $(1)$ .

En su caso $D:=\{\frac1k\mid k=1,2,\dots\}$ y $P(Y=\frac1k)=P(X=k)=2^{-k}$ .

Para encontrar $D_x$ debemos discernir dos casos:

• Si $x\leq0$ entonces $D_x=\varnothing$ y en consecuencia $F_Y(x)=0$ .
• Si $x>0$ entonces $\frac1k\in D_x\iff k\geq\frac1x\geq\lceil\frac1x\rceil$ demostrando que $D_x=\{\frac1k\mid k\geq\lceil\frac1x\rceil\}$ .

donde $\lceil z\rceil$ denota el menor número entero que no es menor que $z$ .

Así que para $x>0$ basado en $(1)$ encontramos: $$F_Y(x)=\sum_{k=\lceil \frac1x\rceil}^{\infty}2^{-k}=2^{-\lceil \frac1x\rceil}\sum_{k=0}^{\infty}2^{-k}=2^{-\lceil \frac1x\rceil}\cdot2=2^{1-\lceil \frac1x\rceil}$$

La respuesta de su libro de texto no se basa en $\lceil z\rceil$ pero se basa en $\lfloor z\rfloor$ (y utiliza la notación $[z]$ para ello) que es el mayor número entero que no es mayor que $z$ . Por eso debe discernir entre los valores de $x\in D$ y valores $x\notin D$ . No es el caso si trabajamos con $\lceil z\rceil$ .

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Hay un pequeño error en su respuesta.

En general $\sum_{k=1}^n2^{-k}=1-2^{-n}$ (así $\neq1-2^{1-n}$ ) de manera que (para los positivos $x$ ): $$F_X(x)=1-2^{-\lfloor x\rfloor}$$ Tenga en cuenta que cuando se utiliza la notación $[x]$ Utilizo la notación $\lfloor x\rfloor$ .

Sustituyendo en $F_Y(x)=1-F_X(\frac1x)+P(X=\frac1x)=1-F_X(\lfloor\frac1x\rfloor)+P(X=\frac1x)$ encontramos: $$F_Y(x)=1-(1-2^{-\lfloor\frac1x\rfloor})+P\left(X=\frac1x\right)=2^{-\lfloor\frac1x\rfloor}+P\left(X=\frac1x\right)$$ Esto coincide con la respuesta del libro de texto.

Si $\frac1x$ es un número entero $n$ entonces el resultado es $2^{-\lfloor\frac1x\rfloor}+2^{-\lfloor\frac1x\rfloor}=2^{1-\lfloor\frac1x\rfloor}=2^{1-n}$ .

Si $\frac1x$ no es un número entero, entonces el resultado es $2^{-\lfloor\frac1x\rfloor}$ .

También coincide con mi resultado $2^{1-\lceil\frac1x\rceil}$