Necesito ayuda para confirmar si mi prueba está aprobada o no. Sigue como:
Reclamación : Dejemos que $f: [a,\infty) \mapsto \mathbb{R}$ donde $f$ es continua. Si $\exists \lim_{x \rightarrow\infty}f(x)=L$ para algunos $L\in \mathbb{R}$ entonces la función $f$ debe estar acotado.
Prueba : Supongamos que $f$ no está acotado. Entonces, para demostrar la afirmación anterior, esta suposición debe darnos que $\nexists \lim_{x \rightarrow\infty}f(x)=L$ .
Si $f$ no está acotado en $[a,\infty)$ entonces $\nexists C \in \mathbb{R} | f(x) \leq C, \forall x \in [a,\infty)$ .
En otros términos, $\forall N > 0, \exists \omega \geq a | \forall x\in [a,\infty), x > \omega \Rightarrow f(x) > N$
o
$\forall N < 0, \exists \omega \geq a | \forall x\in [a,\infty), x > \omega \Rightarrow f(x) < N$
Pero la afirmación anterior, es equivalente a la afirmación:
$\lim_{x \rightarrow\infty}f(x)=\infty$ y $\exists \lim_{x \rightarrow\infty}f(x)=-\infty$ respectivamente.
Pero entonces esto equivale a $\nexists \lim_{x \rightarrow\infty}f(x)=L$
Por lo tanto, como hemos demostrado el enunciado contrapositivo, la afirmación debe ser cierta.
$\blacksquare$
Me encantaría que compartieras algunos consejos para mejorar, y quizás compartir tus propias pruebas, para que podamos discutirlas juntos. Gracias.
