Calcula $ad_X$ , $ad_Y$ y $ad_Z$ en relación con una base

Question

Para un álgebra de la mentira $\mathbb{g} $ podemos definir la representación adjoint como $ ad: \mathbb{g} \rightarrow End(\mathbb{g}) $ como el mapa tal que $ad_x(y)=[x, y] $ para todos $\in \mathbb{g} $

Me pregunto cómo calcular las matrices adjuntas con respecto a una base determinada.

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Por ejemplo, dejemos que el álgebra de la mentira sea $ \mathbb{g}=sl_2(\mathbb{C}) $ con la base siguiente: $X=\begin{bmatrix} 0&1\\0& 0 \end{bmatrix}$,$Y=\begin{bmatrix} 0&0\\1& 0 \end{bmatrix}$ y $H=\begin{bmatrix} 1&0\\0& -1 \end{bmatrix}$

Dejemos que $ ad: \mathbb{g} \rightarrow End(\mathbb{g}) $ sea la representación adjunta

¿Cómo puedo calcular las matrices $ ad_X $ , $ ad_Y $ y $ ad_Z$ en relación con las matrices anteriores?

Answer 1

Desde $sl_2(\Bbb C)$ es $3$ -como un espacio vectorial, se puede imaginar la base $\{X,Y,H\}$ de $\mathbb{g}=sl_2(\mathbb{C})$ , como $\Bigg\{ \left( \begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right)$ , $\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)$ , $\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) \Bigg\}$ es decir, una base para $\mathbb{R}^3$

Para el $X$ generador: $$ad_X(X)=[X,X]=0, \ \ ad_X(Y)=[X,Y]=H, \ \ ad_X(H)=[X,H]=-2X$$ así: $$X\mapsto ad_X=\Big[ad_X(X),ad_X(Y),ad_X(H)\Big]=\begin{bmatrix}0 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & \ \ \ 0 \\ 0 & 1 & \ \ \ 0 \end{bmatrix}\in End(\mathbb{g})$$ Del mismo modo, para el $Y$ generador: $$ ad_Y(X)=[Y,X]=-H, \ \ ad_Y(Y)=[Y,Y]=0, \ \ ad_Y(H)=[Y,H]=2Y $$ así: $$Y\mapsto ad_Y=\Big[ad_Y(X),ad_Y(Y),ad_Y(H)\Big]=\begin{bmatrix} \ \ \ 0 & 0 & 0 \\ \ \ \ 0 & 0 & 2 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix}\in End(\mathbb{g})$$ Y por último, para el $H$ generador: $$ ad_H(X)=[H,X]=2X, \ \ ad_H(Y)=[H,Y]= -2Y, \ \ ad_H(H)=[H,H]=0 $$ así: $$H\mapsto ad_H=\Big[ad_H(X),ad_H(Y),ad_H(H)\Big]=\begin{bmatrix}2 & \ \ \ 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & \ \ \ 0 & 0 \end{bmatrix}\in End(\mathbb{g})$$