Modelización de una partícula bajo la influencia de un campo eléctrico con una fuerza restauradora

Question

Supongamos que tengo una partícula bajo la influencia de un campo eléctrico. La partícula también está unida a un muelle. Por lo tanto, la partícula debe sentir la influencia de dos fuerzas tales que la fuerza total es entonces:

\begin{align} F_T &= F_E + F_S\\ &= qE - kx \end{align} donde $k$ es sólo la constante del muelle. Se trata entonces de una ecuación diferencial de segundo orden:

$$ m\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2} = qE - kx $$

Lo que me cuesta es resolver esta ecuación de forma que obtenga una expresión para $\Delta x$ que es esencialmente la distancia recorrida por la partícula en algún intervalo $\Delta t$ .

Para contextualizar, el muelle es un modelo aproximado de la tensión superficial de un material circundante que tira de la partícula hacia el punto de equilibrio de la superficie. Esto va a un modelo informático, con pasos de tiempo arbitrarios, y cada paso calcula el cambio en $x$ , $\Delta x$ . Para ser claros, el potencial aplicado a la partícula es constante, pero el campo eléctrico depende de $x$ . Por lo tanto, si decimos que la partícula está siendo atraída hacia alguna fuente, la intensidad del campo y, por lo tanto, la fuerza aumentará a medida que la partícula se acerque a la fuente.

Answer 1

El truco general consiste en convertir la diferencial de segundo orden en dos de primer orden. Esto se hace introduciendo una variable extra para llevar a cabo: \begin{align} \frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}&=f(x,\,t)\\ \frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}&=v \end{align} para cualquier función $f(\cdot)$ que necesitas.

Esto se puede aplicar fácilmente a los esquemas de integración numérica (Runge-Kutta, verlet, etc) por los que parece estar interesado.

Dado el campo eléctrico que se considera aquí, es probable que se acabe generando una corriente y, por tanto, que el campo magnético desempeñe un papel (aunque quizás se pueda argumentar que no se incluya). En cualquier caso, le interesará partícula en la célula (también se ha discutido en este sitio).