¿Es todo grupo un subgrupo no trivial de un grupo mayor?

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo y $\kappa$ sea un número cardinal estrictamente mayor que $|G|$ .

(1) ¿Existe un grupo $H$ para lo cual $G$ es un subgrupo no trivial de $H$ ?

(2) ¿Existe un grupo $H$ para lo cual $G$ es un subgrupo no trivial de $H$ y $ \ |H|= \kappa \ $ ?

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Dejemos que $ \ \mu: H \times H \to H \ $ sea la operación binaria del grupo $H$ . Es decir, $(H, \mu)$ es el grupo. Yo digo que un grupo $(J, \nu)$ es un subgrupo de $(H, \mu)$ si, y sólo si,

(i) $ \quad J \subset H \ $ ;

(ii) $ \quad \mu|_{J \times J} = \nu \ $ .

Aquí sólo puedo utilizar la teoría de conjuntos ZFC. Es decir, la igualdad es la "igualdad de la teoría de conjuntos" y las identificaciones o isomorfismos están estrictamente prohibidos.

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Esta pregunta apareció porque en un semigrupo $S$ sin identidad es muy fácil añadir un elemento extra (conjunto) $ \ e \notin S \ $ tal que $ \ S \cup \{ e \} \ $ es un semigrupo con identidad $e$ , definiendo a mano lo que hace la operación en él. Me pregunto si esto es posible con otros elementos y otras estructuras también.

Answer 1

Una vez que se sabe que la respuesta funciona "hasta el isomorfismo", entonces la respuesta también es positiva en el sentido de la teoría de conjuntos.

Supongamos que $(H,*_H)$ es isomorfo a un subgrupo de $(G',*_{G'})$ . En concreto, existe un monomorfismo $\varphi\colon H\to G'$ . Sea $G$ sea el conjunto $H\cup(\{H\}\times(G'\setminus\operatorname{range}(\varphi)))$ . Podemos sustituir $\{H\}$ por $\{x\}$ para lo cual $H\cap\{x\}\times G'=\varnothing$ y, por supuesto, hay una clase propia de tales $x$ 's.

Ahora defina $\Phi\colon G\to G'$ de la siguiente manera: $$\Phi(x)=\begin{cases}\varphi(x) & x\in H\\ y & x=(H,y)\end{cases},$$ a saber $\varphi(x)$ o la proyección sobre $G'$ . Y definir $$x*_Gy=\Phi^{-1}(\Phi(x)*_{G'}\Phi(y)).$$

No es difícil comprobar que $(G,*)$ es un grupo y que $H$ es efectivamente un subgrupo de $G$ . Por supuesto, no hay restricciones en la cardinalidad de $G$ .