¿Cuál es el significado de la pendiente de la recta tangente a una función? ¿Por qué es la derivada de tan importante?

Question

Como ya he terminado de calc 1. Puedo usar la regla del producto y la regla de la cadena y resolver las integrales. Pero siento que es demasiado mecánico para mi gusto. Sé el procedimiento y puedo ejecutar en papel sin realmente entender o vivir la "ahaa momento".

Por ejemplo, cuando yo era el aprendizaje de la geometría en la escuela primaria, la "ahaa momento" para mí fue cuando me tuve que mudar los muebles de mi habitación y necesitaba encontrar áreas de cosas. Estoy tratando de encontrar el equivalente de la aplicación de la derivada y la integral como puedo aprender cálculo. Podría alguien desmitificar esto?

Gracias de antemano.

Answer 1

Una pendiente es la tasa de cambio. Si un coche se mueve a 30 millas por hora, y se hace un gráfico de la distancia recorrida en función del tiempo, la pendiente de la gráfica es de 30 millas por hora.

Isaac Newton fue la primera persona en demostrar que las leyes de la naturaleza que rigen los objetos que vemos todos los días aquí en la Tierra son las mismas que las leyes de la naturaleza que gobiernan las cosas en los cielos: los planetas, las lunas, los cometas (incluyendo el planeta Tierra como un todo).

Con el fin de hacer que él tenía que pensar acerca de la velocidad a la que se mueven como una función de su ubicación.

Las tasas de cambio también se producen de la siguiente manera: Newton se preguntó a sí mismo si la fuerza gravitacional de la tierra en la luna o en otra órbita del objeto es el mismo que si toda la masa de la tierra se han concentrado en el centro. (La línea de fondo, después de mucho esfuerzo, resulta ser "sí".) Entonces, ¿cómo encontrar la suma de los infinitos infinitamente pequeñas cantidades de que se trate? La respuesta es que se pida a la velocidad en la que la suma de los cambios como cada vez más de la tierra es tomada en cuenta. Esta no es una tasa de movimiento físico como pasa el tiempo, pero es algo más.

Por desgracia demasiado de la convencional de matemáticas plan de estudios está diseñado para preparar a los estudiantes para su posterior cursos, de tal manera que averiguar las motivaciones sólo si se toman ciertas posteriores cursos que la mayoría de los estudiantes nunca tendrá. Se deja a los estudiantes no comprender la totalidad de la cosa. Honesto educación no hacerlo. Un par de profesores de aquí y de allá están trabajando en el cálculo de los cursos que están en el respeto honesto. Al menos dos profesores en el Macalester College han estado trabajando en eso, y en varios otros lugares que no se puede nombrar ahora.

Answer 2

La derivada puede ser la cosa más importante en matemáticas. En la física, si la función que da el movimiento de una partícula con respecto al tiempo se define como:$x(t)$, entonces la derivada de esta función $$x'(t)=v(t)$$ gives the velocity of the particle at time $t$. Also, the derivative of the function $v(t)$, or $$v'(t)=a(t)$$ gives the acceleration of the particle. Even Newton's famous law $F=ma$ can be rewritten as the derivative of the momentum with respect to time, or $$\Sigma{F}=\frac{dp}{dt}.$$ Also, the power exerted by a force is equal to the derivative of the work with respect to time $$P=\frac{dW}{dt}.$$ En mecánica de fluidos, la definición de presión está dada, como la derivada de la fuerza con respecto a la zona que la fuerza que está actuando sobre, o $$p=\frac{dF}{dA}.$$ En la física y la lista sigue y sigue, no habría física con el cálculo. La derivada también puede ser aplicado dentro de las matemáticas, dado que la pendiente de una curva, que es útil, y la segunda derivada de dar información acerca de concavidad y puntos de inflexión.

Básicamente, es realmente importante, y si usted entra en las ciencias o en ingeniería, así como el estudio de las matemáticas, te darás cuenta de la derivada, y todos los demás aspectos de cálculo.

Answer 3

Hay otras dos maneras de pensar de la derivada:

1. como la "instantánea de la tasa de cambio" de la función, es decir, cuánto está cambiando en un momento determinado se considera como una función del tiempo. Es decir, la tasa de cambio de una cantidad a lo largo de un intervalo es $$\mathrm{rate\ of\ change} = \frac{\mathrm{change\ in\ quantity}}{\mathrm{interval\ over\ which\ change\ occurs}}$$ o, en símbolos, $$R = \frac{\Delta f}{\Delta x}$$. Entonces la derivada es el valor de limitación de esta tasa cuando se $\Delta x \rightarrow 0$, es decir, en el "ideal" en caso de que el intervalo es de un solo instante de tiempo. Denotamos esta por $f'(x)$ o $\frac{df}{dx}$, el último llamamiento a la mente la relación anterior.

2. como "mejor aproximación lineal" de la función. Es decir, la derivada dice cual es la función lineal es la que es "lo más cercano" a la función en un punto dado en el que todos los demás función lineal tendrá una peor error de los puntos cerca del punto de diferenciación. Esto es lo que la recta tangente representa-tenga en cuenta que ésta no es realmente una función. Si has hecho un poco de álgebra lineal, usted puede haber oído de una "transformación lineal", que en los números reales es una función de la forma $g(x) = ax$. Usted puede pensar en esto como la búsqueda de la transformación lineal ($a$- valor, más precisamente), traducido al ser relativo al punto en el que se puede distinguir, la que mejor se aproxima a la deformación de la acción de la función en un pequeño trozo de la recta numérica real sobre el punto en el que usted tome la derivada. Desde la transformación lineal que se muestra se puede pensar geométricamente como un "estiramiento" o "escala" (que es lo que significa cuando se multiplica un número por otro número real -- escala de un número por otro), también se puede pensar de la derivada como decirle lo mucho que la función de "estira" o "escalas" un pequeño trozo de la recta numérica real sobre el punto de diferenciación. Esto es realmente un buen concepto a tener en cuenta para cuando llegue a formas más avanzadas de matemáticas, donde las generalizaciones de la derivada para obtener más exóticos tipos de espacios de los Números Reales se parecen, y es este el sentido en que se utiliza.

Generalmente, en física, es más a menudo se interesan en la interpretación 1), mientras que en las formas más avanzadas de matemáticas, uno puede estar más interesado en la interpretación 2).

Answer 4

Tomando tu ejemplo de los muebles de la habitación podemos pensar de la integral como el área bajo la curva. Dividimos el área en bloques pequeños y les quepa allí como los muebles. Considere la integral $$ \int_0^1 x^2 dx = {1 \over 3} $$ podemos pensar en esto como el área debajo de esta gráfica. Si vamos a moler la unidad de la plaza así que podría encajar piezas pequeñas de que en esta zona se podría caber $1\over3$ de una pieza.

Answer 5

Imagine que usted quisiera recrear algunos curva suave que se han metido (tal vez una curva sinusoidal ), pero sólo está permitido el uso de pequeñas línea recta componentes. Esto es en realidad una tarea común; me imagino que las computadoras hacen esto todo el tiempo. El más corto de los segmentos de línea que utilice, el 'más cerca' es que realmente recrear la curva real. Usted puede ver esta imaginando su recreación de la curva sinusoidal con pequeñas líneas rectas serán menos 'puntiagudo' el más corto de realizar los segmentos de línea recta. Imagínese que usted podría utilizar infinitamente más pequeña y más pequeña línea recta bits para la reconstrucción de la curva, su recreación sería indistinguible de la curva que le han dado.

Para lograr esto, lo que realmente hacemos es hacer uso de una gran cantidad de tangente líneas! (Recuerde que la tangente es siempre una línea recta.) Así que en realidad se está utilizando la derivada de esta. Lo que en este sentido la derivada realmente recrea la curva está dado. (Y también un poco más fresco que usted puede construir algo como "no-derecho" como una curva sinusoidal con líneas rectas.)