Demostrar que a través de cada punto del espacio, que no se encuentra en una línea dada, existe una única línea paralela a la dada

Question

Demostrar que a través de cada punto del espacio, que no se encuentra en una línea dada, existe una única línea paralela a la dada.

nombremos el punto $A$ la línea dada $a$ y la línea buscada $b$ .

Pensé en crear un plano $(c, A)$ entonces la intersección entre $(a,A)$ y $(c, A)$ será una línea que pasa por el punto $A$ y será paralela a la línea $a$ y $c$ . Sin embargo, en primer lugar, no sé cómo demostrar que esta línea es única. También tengo la sensación de que algo está mal en mi prueba.

Answer 1

Esta pregunta se refiere a Quinto postulado de Euclides (postulado de las paralelas) . A postula (o axioma) es algo que asumimos como verdadero como premisa inicial.

Has mencionado que este postulado no te sale natural, lo cual es indeseable para los postulados. El atrículo de Wikipedia contiene esta línea:

Se han sugerido muchas otras afirmaciones equivalentes al postulado de las paralelas, algunas de las cuales parecen no tener relación con el paralelismo, y otras parecen tan evidentes que fueron asumidas inconscientemente por personas que afirmaban haber demostrado el postulado de las paralelas a partir de los demás postulados de Euclides.

Me parece que una lectura a fondo de la página de Wikipedia puede arrojar algo de luz sobre la parte de "venir naturalmente a ti" de todo esto.

Answer 2

Primera prueba de que el Punto fuera de la línea, y la propia línea están en un plano.

Se le da un punto P y una recta. Por postulados, sabemos que dicha recta contiene dos puntos, llámense puntos A y B, respectivamente. Además, también tenemos la garantía de que hay exactamente un plano que pasa por estos tres puntos y que este plano contiene al punto P y a la recta que pasa por los puntos A y B. Recordemos que la noción de rectas paralelas sólo tiene sentido si dichas rectas son coplanares. De ahí que esta parte sea esencial.

Ahora prueba que podemos trazar una línea por P paralela a la línea que pasa por A y B que llamamos línea k.

Dibuja una recta llamada m que pase por el punto P, suponiendo que no hay ninguna recta que pase por P y que sea paralela a la recta k , que haya un punto de intersección llamado D compartido por ambas rectas m y k.

Claramente, hay un ángulo formado por los rayos DP y el rayo DA ( suponiendo que el punto A es la izquierda de D, de lo contrario, sólo tienes que elegir cualquier punto a la izquierda de D en la línea k. )

Llamamos a este ángulo formado ALPHA.Suponiendo que nuestro ángulo Alpha está restringido entre 0 y 180

0 < ALPHA < 180 , note it can't be either 0 or 180 as this would mean that point P is actually on the line m.

Echando un vistazo a nuestra recta m, vemos que tenemos el punto D a la derecha del punto P, ahora elige un punto a la izquierda del punto P llámalo E.

Por otro postulado, el postulado del transportador para ser exactos, podemos emparejar todos los ángulos con base en el punto P con los números entre 0 y 180, que reflejan la medida de grados a partir de la semirrecta PD. Todo lo que tenemos que hacer ahora es dibujar el ángulo que tiene el valor de la medida ALFA, y extender sus rayos terminales en una línea, llamada esta línea j.

Se deduce que la recta m es una recta transversal que pasa por las rectas k y j. Como los ángulos interiores alternos son congruentes / iguales en la medida del grado, podemos concluir de otro teorema/postulado, que las rectas k y j son paralelas.

QED.

Estoy usando Geometría por como referencia Jurgenson. Esta es una prueba por contradicción.

He utilizado del libro

Postulado 3 de la página 18 Postulado 5 en la pág. 23 Postulado 8, 9 en la pg 23 En [ ]

Mi prueba sólo muestra la parte de la existencia. Creo que en este tipo de pruebas la existencia es la parte más difícil.