Demostrando, bajo ciertas condiciones, que $\left\{f_{n}\right\}$ tiene una subsecuencia que converge uniformemente

Question

Dejemos que $\left\{f_{n}\right\}$ sea una secuencia de funciones de valor real de la clase $C^{1}$ en $[0,1]$ tal que $$\left|f'_{n}(x)\right|\leq \frac{1}{\sqrt{x}},\quad 0<x\leq 1,$$ y $$\int_{0}^{1}f_{n}(x)dx=0.$$ Demuestra que $\left\{f_{n}\right\}$ tiene una subsecuencia que es convergente uniforme en $[0,1]$ .

Observación: Creo que el siguiente teorema sería útil.

Teorema: Dejemos que $K$ compacto y $f_{n}\in\mathcal{C}(K)$ (es decir, el conjunto de funciones acotadas y contiguas en $K$ ), entonces si tenemos que $f_{n}$ está puntualmente acotado para todo $n$ y $\left\{f_{n}\right\}$ son equicontinuos, entonces $\left\{f_{n}\right\}$ tiene una subsecuencia que es convergente uniforme en $K$ .

Answer 1

Pistas: Para la equicontinuidad utilice $f_n(y)-f_n(x) = \int_x^y f_n'(t)\,dt$ y la estimación dada sobre las derivadas. Para la acotación puntiforme, nótese que cada $f_n$ debe ser $0$ en algún lugar de $(0,1).$