Dado que el producto es medible, ¿se puede medir cada factor?

Question

Dada una variable aleatoria $M$ en $(\Omega,\mathscr F, \Bbb P)$ y $M=X\cdot Y$ ¿podemos demostrar que $X$ y $Y$ ¿también son medibles?

Para ser más específico, estaba pensando en si un proceso $M_t=X_t\cdot Y_t$ se adapta a su filtración natural $\mathscr F_t^M$ . Es $X_t$ y $Y_t$ ¿también se adapta a la filtración natural?

Gracias por cualquier pensamiento.

Answer 1

No; no necesariamente.

Sea testigo de un espacio de muestra, $(\Omega,\mathcal F) =\big( \{(1,1),(1,2),(2,1)\},\{\emptyset, \{(1,1)\}, \{(1,2),(2,1)\}, \Omega\}\big)$ .

Definimos las variables aleatorias $X:(x,y)\mapsto x$ , $Y:(x,y)\mapsto y, M:(x,y)\mapsto xy$ .

Entonces $M(\omega)=[X\cdot Y] (\omega)$ y $M$ es $\mathcal F$ -medible, pero tampoco $X$ ni $Y$ son.

• $M^{-1}\{1\}= \{(1,1)\}\in \mathcal F\\M^{-1}\{2\}=\{(1,2),(2,1)\}\in \mathcal F$
• $X^{-1}\{1\}= \{(1,1),(1,2)\}\notin \mathcal F\\X^{-1}\{2\}=\{(2,1)\}\notin \mathcal F$
• $Y^{-1}\{1\}= \{(1,1),(2,1)\}\notin \mathcal F\\Y^{-1}\{2\}=\{(1,2)\}\notin \mathcal F$

Así que $M$ ser $\mathcal F$ -medible y $M=X\cdot Y$ es insuficiente para demostrar que $X$ o $Y$ son $\mathcal F$ -Medible.