Productos semidirectos iterados

Question

Sea $G$ un grupo finito. Supongamos que podemos escribir $G= A \rtimes B$ y también $A = C \rtimes D$. Además supongamos que C es normal en $G$ (no solo en $A$). ¿Entonces podemos escribir $G = C \rtimes E$ donde $E=G/C$? Por supuesto, si $|C|$ y $[G:C]$ son primos relativos, entonces esto se sigue del teorema de Schur-Zassenhaus.

Por supuesto podemos escribir $G= A \rtimes B = (C \rtimes D) \rtimes B$ y nos gustaría tener algún tipo de "asociatividad" del producto semidirecto de manera que $G= C \rtimes (D \rtimes B)$. La pregunta es si el producto semidirecto "$D \rtimes B$" realmente tiene sentido (que $D$ y $B$ actúen en $C$ es claro).

Estoy principalmente interesado en si esto funciona en el caso en que tenemos las siguientes hipótesis adicionales (i) $G$ es soluble, (ii) $C$ es un $p$-grupo, (iii) $D$ es cíclico de orden primo con respecto a $p$, y (iv) $B$ es cíclico (la pregunta solo es interesante si $p$ divide a $|B|$ debido a (iii) y Schur-Zassenhaus). También podríamos fortalecer (i) a (v) $C$ es un grupo abeliano elemental de $p$. No sé si alguna de estas hipótesis adicionales son útiles o no.

También se puede plantear el problema en términos de la división de secuencias cortas exactas. Uno tiene un diagrama conmutativo $ \newcommand{\ra}[1]{\kern-1.5ex\xrightarrow{\ \ #1\ \ }\phantom{}\kern-1.5ex} \newcommand{\ras}[1]{\kern-1.5ex\xrightarrow{\ \ \smash{#1}\ \ }\phantom{}\kern-1.5ex} \newcommand{\da}[1]{\bigg\downarrow\raise.5ex\rlap{\scriptstyle#1}}$

$$ \begin{array}{c} & & 1 & & 1 & & \\ & & \da{} & & \da{} & & \\ & & C & \ra{=} & C\\ & & \da{} & & \da{} & & \\ 1 & \ra{} & A & \ra{} & G & \ra{} & B & \ra{} & 1 \\ & & \da{} & & \da{\pi} & & \da{=} \\ 1 & \ra{} & D & \ra{} & E & \ra{} & B & \ra{} & 1 \\ & & \da{} & & \da{} & & \\ & & 1 & & 1 & & \end{array} $$ en el cual todas las filas y columnas son exactas. Estamos asumiendo que todas las secuencias cortas exactas se dividen (incluida la última fila), excepto la que contiene a $\pi$; queremos mostrar que esta también se divide. Es fácil ver cuál debería ser la sección $\varepsilon: E \rightarrow G$ en términos de las otras secciones, pero desafortunadamente no puedo demostrar que en realidad es un homomorfismo.

Tengo la sensación de que hay una solución fácil o un contraejemplo fácil que cumple con las hipótesis adicionales anteriores, así que estoy perdiendo algo en uno u otro sentido. (Intenté algunos ejemplos pequeños, que parecían funcionar).

Answer 1

Creo que debe dividirse si $C$ es abeliano.

Más precisamente, demostraré que si $C$ es un $p$-grupo abeliano y $D$ es un $p'$-grupo, entonces $C$ tiene un complemento en $G$ y por lo tanto $G \cong C \rtimes (D \rtimes B)$. Estamos asumiendo que $G$ es finito. Tenga en cuenta que bajo estas premisas, $C$ es un subgrupo característico de $A$, y por lo tanto normal en $G.

Existe un resultado general que dice que, si $Q$ es un $p'$-grupo actuando sobre un grupo abeliano finito $p$-grupo $P$, entonces $P = C_P(Q) \times [P,Q]$. No tengo una referencia a mano, pero sé que está en el libro de Gorenstein sobre Grupos Finitos, y puedo encontrar la referencia exacta más tarde. Tenga en cuenta que esto no se cumple en general para $p$-grupos no abelianos.

Así que tenemos $C=C_C(D) \times [C,D].

Ahora $A/[C,D]$ es el producto directo $C/[C,D] \times D[C,D]/[C,D]$. Dado que $A/D[C,D] \cong C/[C,D]$ es abeliano, tenemos $[A,A] \le D[C,D]$ y por lo tanto $[C,D] = C \cap [A,A]$ es normal en $G.

Dado que los factores directos $D[C,D]/[C,D]$ y $C/[C,D]$ de $A/[C,D]$ tienen órdenes primos entre sí, ambos son características en $A/[C,D]$ y por lo tanto normales en $G/[C,D]. En particular, $D[C,D]/[C,D]$ es normalizado por el subgrupo $B[C,D]/[C,D]$, que es un complemento de $A/[C,D]$ en $G/[C,D].

Ahora, el subgrupo $BD[C,D]$ de $G$ contiene a $B$ y $D$ e interseca a $C$ en $[C,D]$. Por lo tanto, satisface las hipótesis originales, pero con $C$ reemplazado por $[C,D]. Por lo tanto, si ahora reemplazamos $G$ por $BD[C,D]$, tenemos $C_C(D)=1.

Ahora dejemos $N = N_G(D)$. Dado que, por el Teorema de Schur-Zassenhaus, todos los complementos de $C$ en $A$ son conjugados (a $D$), el Argumento de Frattini muestra que $G=AN$, y por lo tanto, dado que $D \le N$, $G=CN$. También $[C \cap N,D] \le C \cap D = 1$, entonces $C \cap N \le C_C(D) = 1$, y por lo tanto $C \cap N = 1. Por lo tanto, $N$ es un complemento de $C$ en $G. (También es un complemento del $C$ original que reemplazamos por $[C,D]).

Tenga en cuenta que este argumento no utiliza el hecho de que $D$ y $B$ sean cíclicos, pero sí utiliza la suposición de que $C$ y $D$ tienen órdenes primos entre sí.

No sé si tal extensión siempre se divide cuando se permite que $C$ sea un $p$-grupo no abeliano.

Answer 2

Sin responder directamente a tu pregunta, puede que te interese el artículo: Multiples productos semidirectos de sistemas asociativos. Richard Steiner. Glasgow Mathematical Journal - GLASGOW MATH J 01/1989; 31(03).

Algunas de las preguntas que planteas también se discuten en, y son relevantes para, el trabajo sobre grupos $cat^n$ en teoría de homotopía. Tomando grupos $cat^2$ (o equivalente cuadrados cruzados) en el sentido de Loday, un ejemplo simple es un grupo $G$ junto con dos subgrupos normales especificados, $M$ y $N$, (junto con su intersección). El conmutador entre los dos subgrupos normales produce un mapa $h: M\times N \to M\cap N. (Abstrayendo esto un cuadrado cruzado tiene módulos cruzados, $M\to G$, $N\to G$ y luego reemplazando $M\cap N$ por un $L$ más general, dos módulos cruzados adicionales $L\to M$, $L\to N$ y un mapa $h$, imitando los ejemplos anteriores. A partir de esta configuración se construye un 'grupo grande' $(L\rtimes M)\rtimes (N\rtimes G)$ de forma unívoca, es decir, obtienes un grupo isomorfo si trabajas $(L\rtimes N)\rtimes (M\rtimes G)$.

Esto puede parecer lejano a tu pregunta específica, pero el punto es que los axiomas del mapa $h$ en un cuadrado cruzado, codifican la compatibilidad de las acciones. Esto está relacionado con tu diagrama especialmente cuando $C$ es un subgrupo central. Otra fuente útil pueden ser los artículos sobre los productos tensoriales no abelianos de grupos, comenzando probablemente con:

R. Brown, D. L. Johnson y E. F. Robertson, Some computations of non-abelian tensor products of groups, J. Algebra, 111, (1987), 177 - 202.

Nuevamente, las preguntas sobre la compatibilidad de las acciones son fundamentales para las construcciones.

Answer 3

Aquí tienes una respuesta corta, asumiendo únicamente que $C$ es un $p$-grupo abeliano y que $\vert D \vert$ es primo relativo a $p.

Recuerda que $G \cong H\rtimes K$ si y solo si el subgrupo normal $H$ tiene un complemento en $G$ isomorfo a $K \cong G/H.

Un teorema de Gaschütz dice que un grupo abeliano normal $p$-grupo $C$ tiene un complemento en $G$ si y solo si $C$ tiene un complemento en un $p$-subgrupo de Sylow $P$ que contiene a $C$. Dado que $(\vert D \vert, p) = 1$, tenemos que $C$ es un $p$-subgrupo de Sylow de $A$. Si $P$ es un $p$-subgrupo de Sylow de $B$, entonces contando obtenemos que $CP$ es un $p$-subgrupo de Sylow de $G$. Entonces $P$ es un complemento para $C$ en $CP$, por lo tanto $C$ tiene un complemento en $G$, como se deseaba. $\square

Answer 4

Después de haber examinado la respuesta de Derek, creo que hay otra solución que no asume que $C$ es abeliano pero sí asume algunas hipótesis adicionales (que pueden no ser necesarias, pero son verdaderas para la aplicación que tengo en mente).

Para ser claro, aquí está lo que estoy asumiendo. Supongamos que $G$ es finito, $C$ y $D$ tienen órdenes relativamente primos y que $B$ es cíclico. También supongamos que todas las secuencias exactas cortas en el diagrama conmutativo de la pregunta se dividen, excepto la que contiene a $\pi$, que es la secuencia que queremos demostrar que está dividida. Sea $b$ cualquier generador de $B$. Para mayor claridad, sea $D'$ un subgrupo de $A$ que es la imagen de una división $D \rightarrow A$, y similarmente $E'$ y $B'$ (es decir, $D',B'$ y $E'$ son todos subgrupos de $G$). EDITAR: Supongamos que cualquier elevación $b'$ de $b$ bajo el mapa cociente $G \rightarrow B$ tiene el mismo orden que $b$. Entonces podemos tomar $B'=\langle b' \rangle$ END EDICIÓN (tal vez esta hipótesis siempre se cumple por alguna razón; sé que se cumple en la aplicación que me interesa).

Sea $N=N_G(D')$. Por el mismo razonamiento que en la respuesta de Derek, tenemos $G=AN$ (nota que debido a que estamos usando la parte del Teorema de Schur-Zassenhaus referente a complementos conjugados, debemos asumir que ya sea $A$ o $D$ son solubles, pero estoy bien con esto). Entonces existe $b' \in N$ que se mapea a $b$ bajo el mapa cociente $G \rightarrow B$. Ahora tomamos $B'=\langle b' \rangle$, lo cual podemos hacer por la hipótesis anterior. Así que $B' \leq N=N_G(D')$ y así $E':=D'B'$ es un subgrupo de $G$. Pero $A \cap B'=1$ y $D' \leq A$, así que tenemos $D' \cap B'=1$ y por lo tanto $|E'| = |B||D|$. Ahora $G=AB'=(CD')B'=C(D'B')=CE'$. Además, $|G|=|C||E'|$, lo cual junto con $G=CE'$ implica $C \cap E'=1$. Por lo tanto, $E'$ es el complemento deseado de $C$ en $G.

¿Esto parece correcto? ¿Podemos eliminar la hipótesis sobre la elección de la división $B \rightarrow G`?