Series Infinitas $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k^n}{k!}$

Question

¿Cómo puedo encontrar el valor de la suma de $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k^n}{k!}$? por ejemplo, para $n=6$, tenemos
$$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k^6}{k!}=203e.$$

Answer 1

La respuesta es $eB_n$ donde $B_n$ $n$th Campana número. Esto se conoce como Dobinski de la fórmula.

Answer 2

Pensé que podría ser útil añadir la derivación de la fórmula dada en Casteels respuesta.

La definición de la ecuación para los Números de Stirling del Segundo Tipoes $$ \newcommand{\stirtwo}[2]{\left\{#1\cima#2\right\}} k^n=\sum_{j=0}^n\stirtwo{n}{j}\binom{k}{j}\,j!\la etiqueta{1} $$ Por lo tanto, $$ \begin{align} \sum_{k=0}^\infty\frac{k^n}{k!} &=\sum_{k=0}^\infty\sum_{j=0}^n\stirtwo{n}{j}\binom{k}{j}\frac{j!}{k!}\\ &=\sum_{j=0}^n\stirtwo{n}{j}\sum_{k=j}^\infty\frac1{(k-j)!}\\ &=e\sum_{j=0}^n\stirtwo{n}{j}\tag{2} \end{align} $$ Vale la pena señalar que la Campana Númerosson $$ B_n=\sum_{j=0}^n\stirtwo{n}{j}\etiqueta{3} $$ Por lo tanto, $$ \sum_{k=0}^\infty\frac{k^n}{k!}=e\,B_n\etiqueta{4} $$