Usando la ley débil de los grandes números para encontrar el límite de $\sum\limits_{r = an}^{bn} {n \choose r } p^r (1-p)^{n-r}$

Question

Necesito encontrar el límite de $\sum\limits_{r}^{} {n \choose r } p^r (1-p)^{n-r}$ tal que $ an < r < bn $ en los casos $p < a$ , $ a < p < b$ y $b < p$ .

Sé que tengo que considerar la suma de $n$ variables aleatorias de Bernoulli independientes idénticamente distribuidas, pero no estoy seguro de cómo aplicar la ley débil para mostrar lo que se requiere. Cualquier ayuda que pueda ofrecer sería muy apreciada.

Answer 1

Dejemos que $X_n$ sea binomial con parámetros $p$ y $n$ . La suma deseada es $P(a<X_n/n<b)$ . Pero por la WLLN, $X_n/n\xrightarrow{p} p$ Así que...