Algunas preguntas sobre los grupos divisibles

Question

Tengo algunas preguntas, algunas triviales probablemente, pero soy un principiante en álgebra homológica, así que agradecería cualquier explicación:

1. Si $D$ es un espacio vectorial racional, $F$ es la base y $G$ es un grupo abeliano tal que $G\approx F/R $ para algunos $R$ (podemos considerar $F$ como grupo libre sobre los elementos de $G$ ). Entonces $G\approx F/R\subset D/R$ Por qué $D/R$ ¿es divisible?

2. Por qué a partir del hecho de que el cociente del grupo divisible es divisible (y por tanto inyectivo), sabemos que para cualquier grupo abeliano $G$ hay una secuencia exacta: $$0\rightarrow G\rightarrow I\rightarrow J\rightarrow 0,$$ para $I,J$ inyectiva.

3. Si $P$ es proyectiva y $0\rightarrow G\rightarrow I\rightarrow J\rightarrow 0$ es una resolución inyectiva, entonces $Hom(P,I)\rightarrow Hom(P,J)$ está en. ¿Por qué?

Answer 1

1) $D/R$ es divisible porque $D$ es un espacio vectorial racional, es decir $D\simeq \bigoplus\mathbb{Q}$ como un grupo abeliano. Y este grupo es divisible. Y los cocientes de los grupos divisibles son divisibles.

2) Eso es porque todo grupo abeliano puede incrustarse en un grupo divisible. Eso es más o menos lo que has demostrado en 1. Sólo tienes que empezar desde el otro extremo, es decir, tomas un grupo abeliano $G$ , tome su presentación $G\simeq F/R$ para algún grupo abeliano libre $F=\bigoplus\mathbb{Z}$ e incrustar $F$ en $D=\bigoplus\mathbb{Q}$ .

Así que toma una incrustación $f:G\rightarrow I$ en un grupo divisible y definir $J:=I/\mbox{im}(f)$ . El mapa de cociente natural produce la secuencia corta exacta que se busca:

$$0\rightarrow G\rightarrow I\rightarrow J\rightarrow 0$$

Tenga en cuenta que $J$ es inyectiva porque es divisible (como cociente de grupo divisible).

3) Esto no parece depender en absoluto de la inyectividad. Si $P$ es proyectiva entonces $\mbox{Hom}(P, -)$ es un functor exacto, por lo que toma secuencias exactas en secuencias exactas, por lo que tenemos una secuencia exacta

$$0\rightarrow \mbox{Hom}(P, G)\rightarrow \mbox{Hom}(P, I)\rightarrow \mbox{Hom}(P, J)\rightarrow 0$$

Por eso el mapa inducido $\mbox{Hom}(P, I)\to\mbox{Hom}(P, J)$ está en.

Answer 2

Pregunta 2: Cualquier grupo abeliano $G$ se puede incrustar en un inyectivo $\mathbb{Z}$ -Módulo $I$ utilizando el módulo doble ${\rm Hom}_{\mathbb{Z}} (M,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})$ . Por lo tanto, obtenemos una secuencia exacta corta $$ 0\rightarrow G \rightarrow I \rightarrow I/G \rightarrow 0. $$ Desde $I$ es inyectiva, también el cociente $J=I/G$ es inyectiva. Como estamos hablando de $\mathbb{Z}$ -la divisibilidad es el equivalente a la inyectividad. Por lo tanto, el "hecho de que el cociente del grupo divisible es divisible" funciona.