Todos los subcampos máximos de un Álgebra de División son isomorfos.

Question

Cómo puedo demostrar que dos subcampos máximos de una álgebra de división tienen la misma dimensión sobre k. He encontrado una prueba sencilla aquí en la página 4: http://www.math.northwestern.edu/~len/d70/chap17.pdf . ¿Existe una forma más sencilla de demostrarlo con menos teoría?

¿Y hay una forma muy sencilla de demostrarlo sólo para álgebras de división finitas?

Me gustaría demostrar el teorema de Wedderburns con este lema y el teorema de Skolem-Noether, que ya he demostrado.

Answer 1

La versión original de la pregunta pedía demostrar que los subcampos máximos son isomorfos. Esto es incorrecto, véase más abajo.

Se pueden encontrar muchos contraejemplos dentro del álgebra de división de cuaterniones con coeficientes racionales.

Dejemos que $$ D=\{a+bi+cj+dk\mid a,b,c,d\in\Bbb{Q}\} $$ con las relaciones habituales $i^2=j^2=k^2=-1=ijk$ . Porque $\dim_{\Bbb{Q}}D=4$ sabemos que todos los subcampos máximos son extensiones cuadráticas de $\Bbb{Q}$ . A la inversa, cualquier campo $L, \Bbb{Q}\subset L\subset D$ , de tal manera que $[L:\Bbb{Q}]=2$ es máxima.

Pero entonces tenemos varios subcampos máximos no isomórficos.

• Porque $i^2=-1$ vemos que $D$ tiene una copia de $\Bbb{Q}(\sqrt{-1})$ como subcampo.
• Porque $u=i+j+k$ satisface $u^2=-3$ también obtenemos una copia $\Bbb{Q}(u)$ de $\Bbb{Q}(\sqrt{-3})$ .
• De hecho, si $m=n_1^2+n_2^2+n_3^2$ tenemos $(n_1i+n_2j+n_3k)^2=-m$ y, en consecuencia, un subcampo maximalista isomorfo a $\Bbb{Q}(\sqrt{-m})$ . Por el célebre teorema de los tres cuadrados cualquier número libre de cuadrados $m\not\equiv7\pmod8$ puede escribirse como una suma de tres cuadrados.
• Pero $\Bbb{Q}(\sqrt{-n_1})$ y $\Bbb{Q}(\sqrt{-n_2})$ no son isomorfos a menos que $n_1/n_2$ es un cuadrado de un número racional.

No faltan subcampos máximos no isomórficos de $D$ .

---

Una prueba "estándar" del hecho de que todos los subcampos máximos tienen la misma dimensión consiste en aplicar el teorema del doble centralizador . Más precisamente, el grado de extensión de cualquier subcampo máximo es igual a la raíz cuadrada de la dimensión del álgebra de división sobre su centro. Después de todo, cualquier subcampo está contenido en su centralizador. Y si la contención es adecuada, entonces el campo puede extenderse adjuntando cualquier elemento de su centralizador.