Estoy tratando de entender esta prueba que $\mathbb{R}$ es incontable.
Procediendo por contradicción, supongamos que existe una suryección $f: \mathbb{N} \to \mathbb{R}$ . Considere las posibles expansiones decimales de $f(n)$ para cualquier $n \in \mathbb{N}$ ; pueden ser múltiples. Considere la $n$ después del punto decimal, y que $S_n$ sea el conjunto de números enteros que aparecen en este $n$ entre las posibles expansiones decimales. Habiendo fijado un $n$ , $S_n$ tiene como máximo dos elementos. Ahora, para cada $n$ , elige $a_n$ satisfaciendo $0 \leq a_n \leq 9$ un número entero que no está en $S_n$ . Podemos hacerlo como $|S_n| \leq 2$ . Ahora considere $A = 0.a_1 a_2 a_3 \ldots$ Entonces $a \neq f(n)$ para cualquier $n \in \mathbb{N}$ ya que difiere de $f(n)$ en el $n$ decimal, por lo que $a \not \in \mathrm{Im}(f)$ . Así que $f$ no es una suryección.
Hay dos cosas que no entiendo del todo.
(1) ¿Cómo sabemos que sólo hay dos dígitos posibles en el $n$ ¿el decimal? No sé cómo demostrarlo, pero sé "intuitivamente" que puede haber una expansión que termine en una cadena de $9$ y una expansión que termina en una cadena de $0$ 's.
(2) Esta prueba no tiene en cuenta las expansiones binarias, así que ¿por qué sólo debo tener en cuenta los dígitos después del punto decimal? ¿Es suficiente con diferir en estas posiciones para asegurar $a \not \in f(\mathbb{N})$ ?
ACTUALIZACIÓN: Propuesta de prueba de (1):
De hecho, todo número real tiene como máximo dos expansiones decimales. Hay tres posibilidades exhaustivas. En primer lugar, si $x \in \mathbb{R}$ termina, entonces se decrementa el último dígito y se añade una cadena infinita de $9$ da una expansión decimal alternativa de $x$ . En segundo lugar, si la expansión decimal de $x$ termina con una cadena infinita de $9$ entonces podemos encontrar otra expansión decimal borrando la secuencia de $9$ s e incrementando el último dígito. En tercer y último lugar, si la expansión decimal de $x$ no consigue terminar sin una cadena infinita de $9$ s, sólo tiene una única expansión decimal.
