Introducción:
La acción de una partícula de prueba en el espaciotiempo curvo es
\begin{equation} S=-m\int d\tau \end{equation}
ya que no podemos hacer una variación en el tiempo propio sin cambiar los términos de frontera, se pasa a un parámetro arbitrario $\lambda$
\begin{equation} S=-m\int \sqrt{g_{\mu\nu}\frac{dx^\mu}{d\lambda}\frac{dx^\nu}{d\lambda}}d\lambda \end{equation} El lagrangiano es
\begin{equation} L_0=-m\sqrt{g_{\mu\nu}\frac{dx^\mu}{d\lambda}\frac{dx^\nu}{d\lambda}} \end{equation}
Este lagrangiano da las ecuaciones de movimiento correctas
\begin{equation} \frac{D}{d\tau} \frac{dx^\mu}{d\tau}=0 \end{equation} donde $\frac{D}{d\tau}=\frac{dx^\mu}{d\tau}\nabla_\mu$ es la derivada total del tiempo a lo largo de la línea del mundo.
Si se intenta calcular el Hamiltoniano de este sistema se obtiene cero
\begin{equation} H= \frac{\partial L_0}{\partial \dot{x}^\mu} \dot{x}^\mu-L_0 =0 \end{equation} Esto se debe a que la acción es invariante de la reparametrización, por lo que el sistema es invariante bajo traslaciones locales de tiempo. La solución consiste en sustituir el lagrangiano por este otro alternativo
\begin{equation} L=\frac{m}{2}g_{\mu\nu}\frac{dx^\mu}{d\lambda}\frac{dx^\nu}{d\lambda} \end{equation} Este Lagrangiano da las ecuaciones de movimiento
\begin{equation} \frac{D}{d\lambda}\frac{d\dot{x}^\mu}{d\lambda}=0 \end{equation} lo que implica que $\lambda$ es realmente el tiempo adecuado. Así que da las mismas ecuaciones de movimiento que el lagrangiano anterior. Además, si calculamos el hamiltoniano obtenemos ahora
\begin{equation} H=\frac{g_{\mu\nu}}{2m}p^\mu p^\nu \end{equation} donde $p^\mu=m \frac{dx^\mu}{d\lambda}$ .
Pregunta:
Ahora digamos que tenemos una acción
\begin{equation} S=-m_0\int d\tau - \int d\tau V\big[x(\tau)\big] \end{equation} para algunos potenciales $V(x)$ . El lagrangiano sería
\begin{equation} L=-m_0\sqrt{g_{\mu\nu}\frac{dx^\mu}{d\lambda}\frac{dx^\nu}{d\lambda}}-\sqrt{g_{\mu\nu}\frac{dx^\mu}{d\lambda}\frac{dx^\nu}{d\lambda}} V(x) \end{equation}
La pregunta es: Si queremos sustituir esta lagrangiana por otra que dé las mismas ecuaciones de movimiento pero que también nos permita calcular un hamiltoniano (como el ejemplo de la introducción), ¿cómo debemos cambiar esta lagrangiana?
Mi intento:
Este lagrangiano
\begin{equation} L=-m_0\sqrt{g_{\mu\nu}\frac{dx^\mu}{d\lambda}\frac{dx^\nu}{d\lambda}}-\sqrt{g_{\mu\nu}\frac{dx^\mu}{d\lambda}\frac{dx^\nu}{d\lambda}} V(x) \end{equation}
da las siguientes ecuaciones de movimiento
\begin{equation} \frac{D}{d\tau}\big[m(\tau) \frac{dx^\mu}{d\tau}\big]=-\nabla_\mu V(x) \end{equation}
donde $m(\tau)=m_0+V\big[x(\tau)\big]$ . Mi intento fue utilizar este Lagrangiano
\begin{equation} L=\frac{m_0}{2}g_{\mu\nu}\frac{dx^\mu}{d\lambda}\frac{dx^\nu}{d\lambda}-\sqrt{g_{\mu\nu}\frac{dx^\mu}{d\lambda}\frac{dx^\nu}{d\lambda}} V(x). \end{equation}
Lo que da estas ecuaciones de movimiento
\begin {Ecuación}
\begin{equation} \frac{D}{d\tau}\big[m'(\tau) \frac{dx^\mu}{d\tau}\big]=-\nabla_\mu V(x) \end{equation} que son esencialmente los mismos con la excepción de que la nueva masa es
\begin{equation} m'(\tau)=m_0\sqrt{g_{\mu\nu}\frac{dx^\mu}{d\lambda}\frac{dx^\nu}{d\lambda}}+V\big[x(\tau)\big] \end{equation} El término de masa termina con un factor extra de $\frac{d\tau}{d\lambda}$ . No estoy seguro de que ahora pueda especializarme para $\lambda=\tau$ para obtener las mismas ecuaciones de movimiento. ¿Está permitido? En el caso de la partícula libre $\lambda$ resultó ser el tiempo propio debido a las ecuaciones del movimiento, no fue algo que impusimos.
