¿Cómo calcular la derivada de la siguiente integral?

Question

Hice un ejercicio que quisiera calcular la derivada en $x$ de la integral $$T(x) = \int\limits_0^{1} t^2 (1-t)^3 (t-x)^4 dt,$$ Por supuesto, demostré que $$\dfrac{d}{dx} T(x) = - 4 \int\limits_0^{1} t^2 (1-t)^3 (t-x)^3 dt . $$

El problema es que me gustaría un resultado general que pueda dar un método para determinar la derivada en $x$ de la integral $T_1(x) = \int\limits^1_0 f(t, x) dt$ donde $f(t,x) $ es una función polinómica de $t$ y $x$ .

Mi pregunta: ¿Hay algún resultado para determinar la derivada en $x$ de la integral $T_1(x) = \int\limits^1_0 f(t, x) dt$ donde $f(t,x) $ es una función polinómica de $t$ y $x$ ?

Muchas gracias por su interés.

Answer 1

En general, si $a$ y $b$ son constantes, y $$F(x)=\int_a^b f(x,t)dt$$ entonces $$F'(x)=\int_a^b\frac{\partial}{\partial x}f(x,t)dt$$ para una función suficiente $f$ . Aquí $\frac{\partial}{\partial x}$ denota el derivada parcial . Puede encontrar más detalles aquí .