Estoy estudiando de Spivak' Cálculo, y que los estados del Teorema de Taylor de la siguiente manera:
TEOREMA de
Deje $f',\cdots,f^{(n+1)}$ ser $[a,x]$ y deje $R_{n,a}(x)$ ser definido por
$$R_{n,a}(x)=f(x)-\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}x^k$$
Entonces, por alguna $t\in (a,x)$
$$\eqalign{ & {R_{n,a}}(x) = \frac{{{f^{\left( {n + 1} \right)}}\left( t \right)}}{{n!}}{\left( {x t} \right)^n}\left( {x} \right) \cr & {R_{n,a}}(x) = \frac{{{f^{\left( {n + 1} \right)}}\left( t \right)}}{{\left( {n + 1} \right)!}}{\left( {x} \right)^{n + 1}} \cr} $$
Por otra parte, si $f^{(n+1)}$ es integrable sobre $[a,x]$; a continuación,
$${R_{n,a}}(x) = \int\limits_a^x {\frac{{{f^{\left( {n + 1} \right)}}\left( t \right)}}{{n!}}{{\left( {x - t} \right)}^n}} dt$$
Por otro lado, Landau más antiguos del libro de los estados:
TEOREMA Deje $h>0$. Supongamos $f^{(n)}$ continuo para $0\leq x\leq h$ y diferenciable en a $0<x<h$. Vamos
$$\Phi=f(h)-\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(0)}{k!}h^k$$
Entonces, existe una $t$ $(0,h)$ tal que
$$\Phi=f^{(n+1)}(t)\frac{h^{n+1}}{(n+1)!}$$
y, a continuación, utiliza esto para probar.
TEOREMA (del Teorema de Taylor) Deje $h>0$. Supongamos $f^{(n)}$ continuo para $\mu \leq x\leq \mu+h$ y diferenciable en a $\mu <x<\mu+h$. Entonces existe un $t$ tal que $\mu<t<\mu +h $ $$f(\mu+h)=\sum\limits_{v = 0}^n {\frac{{{f^{\left( v \right)}}\left( \mu \right)}}{{v!}}} {h^v} + \frac{{{h^{n+1}}}}{{(n+1)!}}{f^{\left( n+1 \right)}}\left( t \right)$$
Ahora: yo veo la hipótesis de la misma, y que tanto la dirección que el resto, pero no puedo ver por qué Landau corrige $h>0$ y a continuación se da una fórmula para esta fija $h$ e las $t$ (que en realidad los nombres de esta $x$, pero me pareció un poco en conflicto) , mientras que Spivak da el resto como una función de $x$ y un fijo $t$. Tal vez es sólo para hacer su (Landau), la prueba más simple? Veo cómo ir de Spivak del resultado a Landau, pero no la otra manera alrededor.
