Uso del método de Newton en el método de Euler hacia atrás

Question

Actualmente estoy viendo este problema de ejemplo de mis apuntes del curso (análisis numérico introductorio):

y estoy un poco confundido sobre cómo escribir la ecuación del método de Newton. Por su forma general, conjeturo que es simplemente

$$ w_{i+1} = w_i - \frac{f(t_i, w_i)}{f_y(t_i, w_i)} $$

pero eso parece incorrecto ya que $f$ es una función de múltiples variables. ¿Es esto correcto o debería considerar los cambios en la variable $t$ ¿también?

Answer 1

Para obtener el análogo multivariable, basta con sustituir $\frac{1}{f'(x)}$ con el jacobiano inverso del sistema $J^{-1}$ Así que \begin{equation} \textbf{x}_{i+1} = \textbf{x}_i - J^{-1}\mathbf{f}(\mathbf{x}_i), \end{equation} donde las entradas de $J$ \begin{equation} j_{ik} = \frac{\partial f_i}{\partial x_k} \end{equation} son todas las primeras derivadas parciales de todas las funciones.

Obsérvese que hay formas computacionalmente eficientes de calcular el $J^{-1}\mathbf{f}(\mathbf{x}_i)$ que no implican el cálculo del jacobiano, aunque esto está fuera del alcance de esta pregunta.

Answer 2

Cuando se escribe la fórmula de Newton como se da en su libro, lo que se escribe básicamente es que $$f(x)=f(x_0)+(x-x_0)f'(x_0)=0$$ de la cual $$x-x_0=-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$$ Para simplificar, consideremos ahora dos ecuaciones $f(x,y)=0$ y $g(x,y)=0$ . Ahora podemos escribir $$f(x,y)=f(x_0,y_0)+(x-x_0)f'_x(x_0,y_0)+(y-y_0)f'_y(x_0,y_0)=0$$ $$g(x,y)=g(x_0,y_0)+(x-x_0)g'_x(x_0,y_0)+(y-y_0)g'_y(x_0,y_0)=0$$ de la cual $(x-x_0)$ y $(y-y_0)$ se puede calcular resolviendo las dos ecuaciones lineales para las dos incógnitas. Como ves, es muy parecido pero, en el primer caso, utilizamos la derivada de la ecuación mientras que, en el segundo caso, utilizamos algo un poco más complejo (llamado el Jacobiano del sistema) que se construye a partir de las derivadas de cada ecuación con respecto a ech variable.

No entraré aquí en más detalles. Hágame saber si esto le aclara las cosas.

Answer 3

Siguiendo con su notación, debería ser $$ w_{i+1}^{m+1} = w_{i+1}^{m} - F_y(w_{i+1}^{m})^{-1}F(w_{i+1}^{m}) $$ con $F(y)=y-w_i-hf(t+h,y)$ para que $F_y(y)=I-hf_y(t+h,y)$ .

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Utilizando $w_{i+1}^{0}=w_i$ como un predictor crudo, la primera aproximación es \begin{align} w_{i+1}^{1} &=w_i+h(I-hf_y(t+h,w_i))^{-1}f(t_{i+1},w_i) \\ &=w_i+hf(t_{i+1},w_i)+h^2(I-hf_y(t+h,w_i))^{-1}f_y(t+h,w_i)f(t_{i+1},w_i) \end{align} Esto está relacionado con los integradores Rosenbrock para sistemas rígidos.

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Como mejor predictor se podría tomar el paso de Euler hacia adelante $$ w_{i+1}^{0}=w_i+hf(t_i,w_i) $$