Supongamos que $B \subseteq A$ y definir una relación $R$ en $\mathscr P(A)$ de la siguiente manera: $$ R = \{(X,Y) \in \mathscr P(A) \times \mathscr P(A) \mid X\Delta Y \subseteq B \}$$ Donde $\Delta$ significa diferencia simétrica.
Demostrar que $R$ es una relación de equivalencia en $\mathscr P(A)$
Mi intento:
Tenemos que demostrar que $R$ es:
-
Reflexivo
-
Simétrico
-
Transitivo
Toma arbitraria $X \in \mathscr P(A)$ porque $X \Delta X = \emptyset$ tenemos $X \Delta X \subseteq B $ y por lo tanto $(X,X) \in R$ , lo que significa que el conjunto es reflexivo.
2.
Tome $(X,Y) \in R$ . Desde $X \Delta Y = Y \Delta X$ tenemos $(Y,X) \in R$ . Por lo tanto, el conjunto es simétrico.
3.
Tome $(X,Y), (Y,Z) \in R$ Necesidad de demostrar que $X \Delta Z \subseteq B$ . Tomar arbitrariamente $a \in X \Delta Z$ . Esto implica que, o bien
- $a \in X$ y $a \notin Z$
o
- $a \notin X$ y $a \in Z$
Considere el primer caso.
Supongamos que $a \in Y$ . Entonces $a \in Y \Delta Z$ y $a \in B$ .
Supongamos que $a \notin Y$ . Entonces $a \in X \Delta Y$ y por lo tanto $a \in B$ .
Considere el segundo caso.
Supongamos que $a \in Y$ . Entonces $a \in X \Delta Y$ y por lo tanto $a \in B$ .
Supongamos que $a \notin Y$ . Entonces $a \in Y \Delta Z$ y luego $a \in B$ .
Por lo tanto, siempre que $(X,Y), (Y,Z) \in R$ tenemos $X \Delta Z \subseteq B$ y $(X,Z) \in \mathscr P(A)$ Por lo tanto $R$ es transitivo.
Hemos demostrado que $R$ es reflexivo, simétrico y transitivo, por lo que podemos concluir que $R$ es una relación de equivalencia en $A$ . $\Box$
¿Es correcto?
