Operador que actúa en la descomposición de ONB

Question

Consideremos el siguiente escenario: Dado

• un espacio de Hilbert real $X$ con base ortonormal $(e_k)_{k\in\mathbb{N}}$ ,
• un operador lineal (no limitado) $T$ con dominio denso $D\subset X$ y que
• $\{e_k\colon k\in\mathbb{N}\}\subset D$ .

Dejemos que $x=\sum_{k=0}^\infty\alpha_ke_k\in X$ . ¿Es cierto que $Tx=\sum_{k=0}^\infty\alpha_kTe_k$ ? Si no es así, ¿cuáles son los supuestos adecuados para que sea cierto?

Si $T$ estuviera acotado esto sería claramente cierto.
He pensado en la cerrazón: Dejar que $x_n=\sum_{k=0}^n\alpha_ke_k$ tenemos $x_n\to x$ y $x_n\in D$ . Para concluir $Tx_n\to Tx$ Sin embargo, todavía necesito que $Tx_n$ es convergente en $X$ , lo que no creo que tenga que ser cierto en general.

¿Cuál sería una suposición adecuada sobre el operador $T$ ?

Answer 1

En general, esto no es cierto:

El caso $x_n\rightarrow x$ y $Tx_n\rightarrow y$ no implica que $Tx = y$ en general:

Dejemos que $Y\subseteq l^2$ sea el subespacio

$$Y = \{(\alpha_k)_k\in l^2: \lim_{k\rightarrow \infty}k\alpha_k\text{ exists and is finite.}\}$$

Definir $T:Y\rightarrow l^2$ por $T(\sum \alpha_ke_k) = (\lim_{k\rightarrow \infty}k\alpha_k)e_1$ entonces $T$ es lineal e ilimitada y además $Te_k = 0$ por cada $k$ .

Sin embargo, si dejamos que $x = \sum \frac{1}{k}e_k$ entonces $Tx = e_1$ y por lo tanto

$$T(\sum_{k=1}^{\infty}\beta_ke_k) = \sum_{k=1}^{\infty}\alpha_ke_k$$ no implica que $\alpha_ke_k = \beta_kTe_k$ en general aunque $e_k$ son vectores propios.

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Cerrado no implica que $T(\sum_1^n \alpha_ke_k)\rightarrow \sum_{1}^{\infty} \alpha_kTe_k$ aunque $\sum_1^\infty \alpha_ke_k$ existe.

Dejemos que $T(\sum \alpha_k e_k) = \sum k\alpha_k e_k$ entonces como operador de multiplicación $T$ está cerrado. Sin embargo, si dejamos que $x_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}e_k$ sabemos que $x_n\rightarrow \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}e_k$ en $l^2$ mientras que $Tx_n = \sum_{k=1}^{n}e_k$ diverge.