WLOG Puede asumir una longitud de 1.

Question

Estoy buscando una prueba de lo siguiente:

$$\mathbb{P}(\sum a_iX \ge t)\le \text{exp}\bigg(\frac{-t^2}{||a||_2}\bigg)$$

Comienzan WLOG podemos suponer $||a||^2_2=1$ . Estoy tratando de entender por qué esto es así. Lo único que se me ocurre es que puedo reescalar

$$\mathbb{P}(\sum a_iX \ge t)=\mathbb{P}(\sum \frac{a_iX}{||a||_2} \ge \frac{t}{||a||_2})=\mathbb{P}(\sum \frac{a_iX}{||a||_2} \ge k)$$

para algunos $k\ge 0$

¿Es correcta mi lógica?

Answer 1

No, tu reescalado es erróneo. Deberías reescalar por $\|a\|_2$ (no $\|a\|_2^2$ ): tenga en cuenta que, de lo contrario, no será homogénea.

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Más detalladamente, observa que si demuestras el caso para los vectores unitarios, entonces efectivamente se sigue el caso general:

$$\mathbb{P}\left\{\sum_i a_iX_i \ge t\right\}=\mathbb{P}\left\{\sum_i \frac{a_iX_i}{\|a\|_2} \ge \frac{t}{\|a\|_2}\right\}=\mathbb{P}(\sum_i a'_iX_i \ge t') \stackrel{(\ast)}{\leq} e^{-{t'}^2} = e^{-\left(\frac{t}{\|a\|_2}\right)^2} = e^{- \frac{t^2}{\|a\|_2^2}}$$ donde para $(\ast)$ aplicamos el resultado a $a' = \frac{a}{\|a\|_2}$ (que es un vector de norma unitaria por construcción) y $t' = \frac{t}{\|a\|_2}$ .