Estadística suficiente para la doble exponencial

Question

Dejemos que $X_1,X_2,...X_n$ sea una muestra aleatoria de $f(x,\theta)=\frac{1}{2 \theta}e^{\frac{-|x|}{\theta}}$ Sabemos por el teorema de la factorización que $\frac{\sum |X_i|}{n}$ es suficiente para $\theta$ . Pero, ¿podemos demostrar que $\frac{\sum X_i}{n}$ no es suficiente para $\theta$ ? Es difícil demostrarlo por definición ya que la distribución de $\sum X_i$ no se puede encontrar explícitamente. ¿Hay alguna otra manera?

Answer 1

Dejar $S$ es suficiente con un mínimo. $T$ no es suficiente si existe $x,y\in support$

$T(x)=T(y)$ pero $S(x)\neq S(y)$

dejemos n=2, $T(x)=x_1+x$ y $S(x)=|x_1|+|x_2|$ (S es mínimo suficiente)

$x=(2,-1)$ y $y=(3,-2)$

$T(x)=1=T(y)$ $S(x)=3\neq 5=T(y)$

así que $T$ no es suficiente

en general, para un $n$ elija $x=(2,-1,0,\cdots ,0)$ $y=(3,-2,0,\cdots ,0)$

este método se basa en este punto que el mínimo suficiente es una función de cualquier estadística suficiente, y en lo anterior mostramos que $S$ no es una función de $T$ .nota $V$ es una función de $U$ si

$\forall x,y \quad U(x)=U(y) \Longrightarrow V(x)=V(y)$ así que

$V$ no es una función $U$ si

$\exists x,y \quad V(x)=V(y) \quad but \quad U(x)\neq U(y) $

Answer 2

Sí, es bastante fácil. Todo lo que hay que hacer para demostrar que una estadística no es suficiente es mostrar que ha habido alguna pérdida de información (sobre el parámetro) en comparación con la que estaba presente en la muestra original.

Si se sabe que una estadística es suficiente, el cálculo de su valor para una muestra específica no supondrá ninguna pérdida de información sobre $\theta$ en comparación con la muestra original. Por lo tanto, si puede encontrar dos muestras distintas para las que el estadístico insuficiente da el mismo valor, pero los estadísticos suficientes son desiguales, sabe que ha perdido información sobre $\theta$ .