Cómo demostrar la unicidad de la solución de $ax+b=0$ ?

Question

No tengo conocimientos de análisis matemático o similares, pero me interesa saber cómo demostrar la unicidad de la solución de $ax+b=0$ ? Quizás sus respuestas me ayuden a demostrar otros problemas de unicidad.

Answer 1

Una forma estándar de demostrar que un determinado objeto es único es dos suponer que se tienen dos objetos que satisfacen las propiedades deseadas, y deducir que deben ser iguales (cuando decimos "dos objetos", nos referimos a dos "nombres", pero que pueden referirse al mismo objeto).

En el caso de las soluciones de la ecuación $ax+b=0$ hay que distinguir dos casos: si $a=0$ entonces la ecuación tiene no soluciones (si $b\neq 0$ ), o tiene infinitas soluciones (si $b=0$ ).

Por lo tanto, la singularidad sólo existe cuando $a\neq 0$ . La unicidad se basa en el siguiente hecho sobre los números reales:

Para cualquier número real $r$ y $s$ , si $rs=0$ entonces $r=0$ o $s=0$ .

Una vez que tengas eso:

Reclamación. Si $a\neq 0$ entonces hay como máximo una solución para $ax+b=0$ .

Prueba. Supongamos que ambos $x$ y $y$ son soluciones. Nuestro objetivo es demostrar que $x=y$ . Desde $x$ es una solución, $ax+b=0$ . Desde $y$ también es una solución, $ay+b=0$ . Esto significa que $ax+b=ay+b$ . Añadiendo $-b$ a ambos lados concluimos que $ax=ay$ . Añadiendo $-ay$ a ambos lados, obtenemos $ax-ay = 0$ teniendo en cuenta $a$ tenemos $a(x-y)=0$ . Dado que el producto es $0$ entonces $a=0$ o $x-y=0$ . Desde $a\neq 0$ por suposición, concluimos que $x-y=0$ Así que $x=y$ . Por lo tanto, si $x$ y $y$ son ambas soluciones, entonces $x=y$ por lo que hay a lo sumo una solución. $\Box$

Obsérvese que este argumento funciona en el contexto de los números reales, o de otros tipos de "números" en los que $rs=0$ implica $r=0$ o $s=0$ . Hay otras situaciones en las que esto no es así. Por ejemplo, si se trabaja con "enteros módulo 12" ("aritmética del reloj", donde $11+3 = 2$ ), entonces $2x+8 = 0$ tiene muchas soluciones diferentes $0\leq x\lt 12$ Una solución es $x=2$ (ya que $2(2)+8 = 4+8=12=0$ en la aritmética del reloj), y otra solución es $x=8$ desde $2(8)+8 = 16+8=24 = 0$ en la aritmética del reloj).

Answer 2

Supongamos que $x$ y $y$ son ambas soluciones de su ecuación. Entonces tenemos:

$ax + b = 0$

et

$ay + b = 0$

Restando las dos ecuaciones se obtiene

$a(x - y) = 0$

Así que si $a$ es distinto de cero, entonces $x-y$ debe ser cero, es decir $x = y$ .

Answer 3

Si está trabajando en un sistema con un único inverso para cada (o algunos) elementos, entonces $$ax+b=0\Longleftrightarrow x=-ba^{-1}=-\frac{b}{a}$$ es equivalente a "a tiene un inverso único". Por ejemplo, los campos (como $\,\mathbb Q\,,\,\Bbb R\,,\,\Bbb C\,$ etc.), donde el el axioma del elemento inverso único es verdadero para cualquiern elemento distinto de cero.

Answer 4

Como escribió Tony, si tuviera dos soluciones diferentes $\rm\,r\ne s,\,$ entonces $\rm\: a\, x = 0\,$ tendría raíz $\rm\, x = r-s\ne 0,\:$ contra $\rm\:x,y\ne0\:\Rightarrow\:xy\ne 0.\:$ Esta implicación ("no hay divisores de cero") es equivalente al hecho de que los polinomios no tienen más raíces que su grado (por lo que un polinomio lineal tiene como máximo una raíz).

Answer 5

¿Sería válido lo siguiente?

si $a=0$ y $b\neq 0$ entonces no hay solución y si $a=0$ y $b=0$ entonces hay infinitas soluciones. (Así que no usaremos estas condiciones en nuestra prueba porque no nos dan una solución única)

pero

si $a\neq 0$ entonces hay una solución única para $ax+b=0$

Prueba

dejar $x,y \in \Bbb R: ax+b=0$ y $ay+b=0$ que significa $x=y$ $$\begin{align} &ax+b=ay+b\\ \implies &(ax+b)+(-b)=(ay+b)+ (-b)\\ \implies &ax+(b+(-b))=ay+(b+(-b))\tag {A2}\\ \implies &ax+0=ay+0\tag{A4}\\ \implies &ax=ay\\ \implies &ax(a^{-1})=ay(a^{-1})\\ \implies &x(a(a^{-1}))=y(a(a^{-1}))\tag{M2}\\ \implies &x(1)=y(1)\tag{M4}\\ \implies &x=y \end{align}$$

Demostrar que la solución es verdadera