Es un $H_0^1$ ¿una función continua en la frontera si es continua en el interior?

Question

Supongamos que $\Omega$ es un dominio acotado en $\mathbb R^3$ con límite de Lipchitz $\partial\Omega$ y $u\in H_0^1(\Omega)\cap C(\Omega)$ . Es $u$ continua hasta el límite, es decir, ¿tenemos $u \in C( \overline{\Omega})$ ?

En otras palabras, es cierto que $H_0^1 (\Omega)\cap C(\Omega)\subset C(\overline \Omega)$ ?

Dependiendo de la(s) respuesta(s), puede que tenga algunas preguntas de seguimiento (por si sirve de algo).

Gracias a todos y cada uno por adelantado.

Editar : Parece que la respuesta es no, así que añado preguntas de seguimiento: ¿Puedo conseguir que $u$ está acotado y/o alcanza su máximo en $\overline\Omega$ ?

Answer 1

No necesariamente. $\Omega = B_1 \cap \{x_3 > 0\}.$ Entonces $u(x) := (1-|x|^2)\frac{x_3}{|x|}$ está en $H^1_0(\Omega) \cap C^{\infty}(\Omega),$ pero $u$ es discontinua en el origen.

Answer 2

La respuesta a la pregunta de seguimiento también es negativa. Pues considere el medio balón $\Omega=\{x\,;\,x_3>0,\,|x|<1\}$ . Elija un número $\alpha\in(1,\frac32)$ y una función $\phi\in C^\infty({\mathbb R}^3)$ tal que $\phi(x)\equiv1$ para $|x|<\frac13$ , mientras que $\phi(x)\equiv0$ para $|x|>\frac23$ . Entonces la función $u(x)=r^{-\alpha}x_3\phi(x)$ pertenece a $H^1(\Omega)\cap C(\Omega)$ . Su rastro, al ser un elemento de $H^{1/2}(\partial\Omega)$ es una función integrable al cuadrado, por lo que puede determinarse mirando lejos de un conjunto de Lebesgue despreciable. Así, miramos la traza lejos del origen, donde $u$ es continua y desaparece en la frontera. Por lo tanto, la traza es $\equiv0$ Es decir $u\in H^1_0(\Omega)$ . Sin embargo, no es una función acotada.