Una posible métrica completa sobre el conjunto de funciones dos veces diferenciables en $[0,1]$

Question

Dejemos que $S \subset C^2[0,1]$ (conjunto de funciones dos veces diferenciables $f(x)$ en $[0,1]$ ) que satisfacen lo siguiente: $$\int_0^1 f(x)\,dx\leq3$$ La pregunta es $(S,d)$ es un espacio métrico completo, donde $$d(f,g)=\sup_{x \in [0,1]}|f(x)-g(x)|+ \sup_{x \in [0,1]}|f'(x)-g'(x)| + \sup_{x \in [0,1]}|f''(x)-g''(x)|.$$

Estoy algo seguro de que puedo probar que $d$ es una métrica de hecho. El resto, un completo misterio. Casi definitivamente adjuntaré un límite a esta pregunta.

Answer 1

Una pista: nota que $C^2[0,1]$ es un espacio completo bajo la métrica $d$ . Así, basta con demostrar que si tenemos una secuencia de funciones $\{f_n\} \subset S$ con $f_n \to f$ sur $C^2[0,1]$ entonces $f \in S$ . Es decir, basta con demostrar el siguiente resultado:

Supongamos que $\{f_n\} \subset C^2[0,1]$ satisface $\lim_{n \to \infty}d(f_n,f) = 0$ y que para cada $n$ tenemos $$ \int_0^1 f_n(x)\,dx \leq 3 $$ Entonces $f$ satisface $\int_0^1 f(x)\,dx \leq 3$ .