Utilice la definición épsilon-delta de los límites para demostrar que $\lim_{(x,y) \to (1,2)}(x^2+3x-4y)=-4$ y $\lim_{(x,y) \to (1,-1)}(x^2+y^2)=2$

Question

Utilice la definición épsilon-delta de los límites para demostrar que

$$\lim_{(x,y) \to (1,2)}(x^2+3x-4y)=-4$$ $$\lim_{(x,y) \to (1,-1)}(x^2+y^2)=2$$

Tenemos que demostrar que $$\forall \epsilon >0( \exists \delta >0( \forall (x,y) \in \mathbb R^2 (0<\sqrt{\left(x-1\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}<\delta \implies \left|\left(x^2+3x-4y\right)+4\right|<\epsilon)))$$

Tomando $\left|x-1\right|,\left|y-2\right|<\delta$ sigue : $$\left|\left(x^2+3x-4y\right)+4\right|\le \left|x+4\right|\left|x-1\right|+4\left|y-2\right|< (\delta+5)\left|x-1\right|+4\left|y-2\right|$$

Dejemos que $ \delta \le 1$ :

$$\left|\left(x^2+3x-4y\right)+4\right|< 6\left|x-1\right|+4\left|y-2\right|$$

Así que tomando $\delta \le \epsilon/10$ demuestra la afirmación.

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Tenemos que demostrar que $$\forall \epsilon >0( \exists \delta >0( \forall (x,y) \in \mathbb R^2 (0<\sqrt{\left(x-1\right)^{2}+\left(y+1\right)^{2}}<\delta \implies \left|\left(x^2+y^2\right)-2\right|<\epsilon)))$$

$$\left|\left(x^2+y^2\right)-2\right| \le \left|x-1\right|\left|x+1\right| +\left|y-1\right|\left|y+1\right|$$

Tomando $\left|x-1\right|,\left|y+1\right|<\delta$ y $\delta \le 1$ sigue: $$\left|\left(x^2+y^2\right)-2\right| <3\delta +2\delta$$

Así que sólo tenemos que elegir $\delta \le \epsilon/5$ .

Quiero saber si mi solución es verdadera, así que si usted tiene una solución alternativa que sería bueno ver que, pero por favor primero comprueba el mío.

Answer 1

Parece que está bien; la forma en que tomas $\delta$ no está muy claro.

Yo escribiría el primero de la siguiente manera. (De forma similar para la segunda).

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Dejemos que $\epsilon>0$ . La estimación $$ \begin{align} |x^2+3x-4y-(-4)| &=|x^2+3x-4y-(1^2+3\cdot 1-4\cdot 2)|\\ &\le |x+1|\cdot |x-1|+3|x-1|+4|y-2|\\ &=|x-1+2|\cdot |x-1|+3|x-1|+4|y-2| \end{align} $$ sugiere que si se toma $$\sqrt{|x-1|^2+|y-2|^2}<\delta\tag{1}$$ entonces $|x-1|<\delta$ y $|y-1|<\delta$ y por lo tanto $$ |x^2+3x-4y-(-4)|\le (\delta+2)\delta+3\delta+4\delta=(\delta+9)\delta\tag{2} $$ Así que si usted toma $\delta=\min(1,\epsilon/10)$ entonces (1) implica $$ |x^2+3x-4y-(-4)|\le (\delta+2)\delta+3\delta+4\delta=(\delta+9)\delta \le 10\delta \le\epsilon. $$