Estoy interesado en el caso no limitado y busco condiciones suficientes en los módulos del complejo o del anillo para que esto se mantenga. O incluso restringir el functor a alguna subcategoría no limitada.
Sabemos que desde $(-) \otimes B$ es un functor adjunto a la izquierda que preserva los colímetros y, por tanto, es exacto a la derecha. Es decir, dada una secuencia exacta corta \begin{equation} 0 \to X \to Y \to Z\to 0, \end{equation} de complejos de cadenas $X,Y,Z$ sobre algún anillo $R$ obtenemos una secuencia exacta \begin{equation} X\otimes B \to Y \otimes B \to Z\otimes B \to 0. \end{equation}
La cuestión se reduce entonces a si el mapa $X\otimes B \to Y\otimes B$ es una inyección de grado. O dicho de otro modo, las condiciones para que los monomorfismos se conserven bajo $(-)\otimes B$ .
Si observamos la categoría completa de complejos de cadenas, una condición necesaria para $B$ sería la planitud en cada grado, pero como se muestra en la pregunta vinculada no es suficiente.
En particular, me pregunto si se mantendrá:
- Sobre un campo $R=k$
- En la subcategoría completa de complejos de cadenas con módulos libres o proyectivos.
Editar: Mi post original también contenía lo siguiente pero como se señala en los comentarios es diferente a mi pregunta. "En la pregunta ¿"Complejo de cadenas planas"? se dan condiciones suficientes en términos de complejos acotados".
