Demostración de la independencia lineal de una base a partir de vectores coordenados.

Question

Sea $B$ una base para $\mathbb{R}^n$. Demuestra que los vectores $v_1, v_2, \dots, v_k $ forman un conjunto linealmente independiente si y solo si los vectores $[v_1]_B, [v_2]_B, \dots, [v_k]_B$ forman un conjunto linealmente independiente.

Sé que los vectores coordenados de $v_1, \dots v_k $ con respecto a $B$ producirán vectores cero ya que solo existe la solución trivial si son linealmente independientes, lo cual implica que un cierto vector $v \in B$ no puede ser escrito como una combinación de los otros vectores, lo que implica la independencia lineal de la base.

Mi problema es escribir esto concretamente en lugar de usar la intuición (si es correcta).

Una pregunta secundaria es la afirmación de que si los vectores coordenados abarcan $\mathbb{R}^n$ implica que la base abarca $\mathbb{R}^n$.

No estoy seguro de cómo demostrar esta afirmación

Answer 1

Supongamos que los vectores $v_1,\dots,v_k$ son linealmente dependientes. Entonces existen coeficientes no triviales (no todos cero) $a_1,\dots,a_k$ tales que $$ a_1v_1+\dots+a_kv_k=0. $$ Ahora expresamos esto en la base $B$: $$ 0 = [a_1v_1+\dots+a_kv_k]_B = a_1[v_1]_B+\dots+a_k[v_k]_B. $$ Por lo tanto, los vectores $[v_1]_B,\dots,[v_k]_B$ son linealmente dependientes.

Si asumimos que los vectores $[v_1]_B,\dots,[v_k]_B$ son linealmente dependientes, podemos seguir los mismos pasos hacia atrás para mostrar que $v_1,\dots,v_k$ son linealmente dependientes.

Hemos demostrado que un conjunto de vectores es linealmente dependiente si y solo si el otro también lo es. Por lo tanto, un conjunto de vectores es linealmente independiente si y solo si el otro también lo es.

Answer 2

Primero, recordemos estos hechos sobre vectores coordenados: $$[v_1 + v_2]_B = [v_1]_B + [v_2]_B$$ $$[\alpha v]_B = \alpha[v]_B$$ $$v = 0 \iff [v]_B = 0$$

Ahora podemos demostrar tu afirmación. Sean $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_k$ escalares en el campo.

Sabemos que:

$\alpha_1v_1 + \alpha_2v_2 + ... + \alpha_kv_k = 0 \iff [\alpha_1v_1 + \alpha_2v_2 + ... + \alpha_kv_k]_B = 0 \iff [\alpha_1v_1]_B + [\alpha_2v_2]_B + ... + [\alpha_kv_k]_B = 0 \iff \alpha_1[v_1]_B + \alpha_2[v_2]_B + ... + \alpha_k[v_k]_B = 0$

Por lo tanto, podemos ver que si $\{v_1, v_2, ..., v_k\}$ son linealmente independientes, significa que todos los $\alpha$ en la frase anterior son $0$ y podemos concluir que $\{[v_1]_B, [v_2]_B, ...,[v_k]_B\}$ también son linealmente independientes: Tomamos una combinación lineal que es igual a 0 y obligó a que todos los coeficientes fueran 0. El otro sentido es similar.