¿Por qué es $ \lim_{x\to0}\frac{2-\sqrt{4-x}}{x} = \frac{1}{4} $ ?

Question

$$ \lim_{x\to0} \frac{2-\sqrt{4-x}}{x} = \frac{1}{4} $$

Ni completar el cuadrado ni sumar el cero me ayudaron a convertir esta ecuación en algo útil. Al final, siempre hay una $x$ que "pone en cero" mis condiciones. Estoy seguro de que he probado todos los trucos posibles que conozco. Aún así, debe quedar alguna técnica. ¿Qué me he perdido?

Answer 1

$$\frac{2-\sqrt{4-x}}{x}=\frac{2-\sqrt{4-x}}{x}\frac{2+\sqrt{4-x}}{2+\sqrt{4-x}}=\frac{2^2-(4-x)}{x\cdot(2+\sqrt{4-x})}=\frac{1}{2+\sqrt{4-x}}$$

Answer 2

Dejemos que $y>0$ sea tal que $y^2=4-x$ entonces $$\lim_{x\to 0}\frac{2-\sqrt{4-x}}x=\lim_{y\to 2}\frac{2-y}{4-y^2}=\lim_{y\to 2}\frac{2-y}{(2-y)(2+y)}=\lim_{y\to 2}\frac1{2+y}=\frac14$$

Answer 3

Puede utilizar $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$ y obtener

$$\lim_{x\to 0} \frac{4-4+x}{x(2+\sqrt{4-x})} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{2+\sqrt{4-x}}.$$

Answer 4

Una pista:

¿Ves por qué este límite es el mismo de

$$ \lim \limits_{x \rightarrow 0}\frac{1}{2+ \sqrt{4-x}}?$$