Prueba $\lim_{n \to \infty}{\frac{e^{h_n} - 1}{h_n}} = 1$ , donde $h_n \gt 0$ y $\lim_{n \to \infty}h_n = 0$ .

Question

$\displaystyle\lim_{n \to \infty}{\frac{e^{h_n} - 1}{h_n}} = 1$ donde $h_n \gt 0$ y $\lim_{n \to \infty}{h_n} = 0$ .

Me gustaría que esto se hiciera utilizando el hecho de que $\displaystyle\lim_{n \to \infty}{\frac{e^{\frac{1}{n}} - 1}{\frac{1}{n}}} = 1$

Tuve un par de ideas, pero no funcionaron.

Agradezco cualquier ayuda.

Answer 1

No es más difícil que demostrar que $$\frac{e^{1/n}-1}{1/n} \to 1$$ que utiliza $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n < e < \left(1+\frac{1}{n-1}\right)^n$ es decir $\frac{1}{n} < e^{\frac{1}{n}}-1 < \frac{1}{n-1}$

Así que asumiendo que conoces el límite anterior, toma $h>0$ pequeño y colocarlo entre dos fracciones $\frac{1}{n}\le h \le \frac{1}{n-1}$ . Entonces $$\frac{e^{1/n} -1}{1/(n-1)} \le \frac{e^h-1}{h}\le \frac{e^{1/(n-1)}-1}{1/n}$$ Ahora LHS $=\frac{e^{1/n} -1}{1/n}\cdot (n-1)/n$ y RHS $=\frac{e^{1/(n-1)}-1}{1/(n-1)}\cdot n/(n-1)$ y se puede utilizar el límite anterior y el teorema del apretón.

Obsérvese que esto determina la derivada (derecha) de la función $e^x$ en $x=0$ .

Answer 2

Dejemos que $y_n=e^{h_n}-1$ . Entonces $\frac{e^{h_n}-1}{h_n}=\frac{y_n}{\ln(y_n+1)}=\frac{1}{\frac{1}{y_n}\ln(y_n+1)}=\frac{1}{\ln(y_n+1)^{1/{y_n}}}$ . Lo que sucede como $n\to \infty$ ? ¿Se le permite suponer $\ln$ es continua y que los límites pueden ser llevados dentro de las funciones continuas?

Answer 3

Dejemos que $\varphi(x)=\frac{e^x-1}{x}$ entonces $\forall x>0,\varphi'(x)=\frac{e^x(x-1)+1}{x^2}\geqslant0$ porque $e^x(x-1)\geqslant x-1\geqslant -1$ . Así, $\varphi$ es no decreciente. Obsérvese también que $\varphi(x)\geqslant 1$ para todos $x>0$ (porque $e^x\geqslant x+1$ para todos $x\in\mathbb{R}$ ). Sea $\varepsilon>0$ y $m\in\mathbb{N}$ tal que $\left|\varphi\left(\frac{1}{m}\right)-1\right|<\varepsilon$ , ya que $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}h_n=0$ existe $p$ tal que $\forall n\geqslant p,0<h_n\leqslant\frac{1}{m}$ . Ahora para todos $n\geqslant p$ , $0<h_n\leqslant\frac{1}{m}$ y como $\varphi$ es no decreciente tenemos $1\leqslant\varphi(h_n)\leqslant\varphi\left(\frac{1}{m}\right)<1+\varepsilon$ lo que significa que $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\varphi(h_n)=1$ .