Mostrar $\big\lvert\frac{1}{2} - \frac{1}{2}e^{-i2\pi f}\big\vert^{2} = \sin^2(\pi f)$ ?

Question

$\big\lvert\frac{1}{2} - \frac{1}{2}e^{-i2\pi f}\big\vert^{2} = \sin^2(\pi f)$ ?

¿Alguna ayuda?

Answer 1

Escriba esto como

$${1\over 4}\left|e^{\pi if}-e^{-\pi i f}\right|^2.$$

Son iguales desde $|e^{i\theta}|=1$ para todos $\theta$ . (en este caso ponemos un factor de $|e^{i\pi f}|^2$ .

Answer 2

SUGERENCIA:

Suponiendo que $f\in\mathbb{R}$ :

$$\left|\frac{1}{2} - \frac{1}{2}e^{-2i\pi f}\right|^{2} = \sin^2(\pi f)\Longleftrightarrow$$ $$\left|\frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{2}e^{-2i\pi f}\right)\right|^{2} = \sin^2(\pi f)\Longleftrightarrow$$ $$\frac{1}{4}\left|1 - \frac{1}{2}e^{-2i\pi f}\right|^{2} = \sin^2(\pi f)\Longleftrightarrow$$ $$\frac{1}{4}\left(\sqrt{\frac{1}{4}\sin^2(2\pi f)+\left(-\frac{1}{2}\cos(2\pi f)-1\right)^2}\right)^{2} = \sin^2(\pi f)\Longleftrightarrow$$ $$\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4}\sin^2(2\pi f)+\left(-\frac{1}{2}\cos(2\pi f)-1\right)^2\right)= \sin^2(\pi f)$$