¿Cuál es el último dígito de $n^5-5n^3+4n+7, \forall n \in \mathbb{N}$ ?

Question

Si $n$ es un número natural mayor que dos, ¿cuál es el último dígito de la expresión $n^5-5n^3+4n+7$ ? ¿Cómo lo demuestran?

Answer 1

Sugerencia: Su término puede escribirse de la forma $$7+(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)$$

Answer 2

Necesidad de calcular $n^5-5n^3+4n+7 $ (mod $10$ ). Por el pequeño teorema de Fermat, $n^5-5n^3+4n+7\equiv n-5n^3+4n+7\equiv 2 $ (mod $5$ ), y $n^5-5n^3+4n+7\equiv n-5n+4n+7\equiv 1 $ (mod $2$ ), por lo que $n^5-5n^3+4n+7\equiv 7 $ (mod $10$ ).

Answer 3

Dejemos que $n$ sea un número cuya última cifra sea $d\in\{0,1,2,...,9\}$ .

Entonces el último dígito de $n^5 - 5n^3+4n^2+7$ es el último dígito de $d^5-5d^3+4d^2+7$ .

Así que sólo tiene que comprobar estos $10$ casos.

Otra opción: Obsérvese que $n^5-5n^3+4n^2 = (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)$ y por lo tanto tiene que ser divisible por $10$ .

Answer 4

Si $n \in \mathbb{N}$ podemos probar varios valores para ver que el dígito de la expresión parece ser siempre $7$ . Así que tenemos que demostrarlo: $$n^5−5n^3+4n+7 \equiv 7 \mod{10}$$ $$n^5−5n^3+4n \equiv 0 \mod{10}$$ $$n(n^4−5n^2+4) \equiv 0 \mod{10}$$ $$n(n^2-1)(n^2-4) \equiv 0 \mod{10}$$ $$n(n+1)(n-1)(n+2)(n-2) \equiv 0 \mod{10}$$ $$(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) \equiv 0 \mod{10}$$

Y lo anterior es válido para todos $n \in \mathbb{N}$ como $5$ Los números consecutivos deben contener un número divisible por $2$ y uno divisible por $5$ . Por lo tanto, $10|(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)$ para todos $n \in \mathbb{N}$ .

Answer 5

Otra variante :

$$\begin{array}{l}n^5-5n^3+4n\equiv n^5+4n\equiv n-n=0\mod5\\ n^5-5n^3+4n\equiv n^5-n^3\equiv n-n=0\mod 2 \end{array}\biggr\} \quad\text{by } \textit{ lil' Fermat}, $$

así que $\;n^5-5n^3+4n\equiv 0\mod 10$ y en última instancia $$n^5-5n^3+4n+7\equiv 7\mod 10. $$