Considere una partícula que experimenta geométricas movimiento browniano con deriva $\mu$ y la volatilidad de los $\sigma$, por ejemplo, como en aquí. Deje $W_t$ denotar esta geométricas movimiento browniano con deriva en el tiempo $t$. Estoy buscando una fórmula para calcular:
$$
\mathbb{P}\big(\max_{0 \leq t \leq n} W_t - \min_{0\leq t \leq n} W_t > z\big)
$$
Las entradas para la fórmula será $\mu$, $\sigma$, $z$, y $n$.
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user162445
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El siguiente horrible fórmula para la distribución conjunta de max, min y el valor final de un movimiento Browniano fue copiado sin garantías en el Manual De Movimiento Browniano (Borodin/Salminen), 1.15.8, p.271. En primer lugar, por simplicidad, este es el único escrito por $\sigma=1,t=1$, y el caso más general viene directamente de la escala. Si queremos acortar la W como la Browniano Botion en t=1, m como mínimo y M como máximo en $[0,1]$, $a < min(0,z) \le max(0,z) < b$ tiene $$ P(a < m, M < b, W \en dz) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{(\mu z-\mu^2/2)} \cdot \sum_{k =-\infty}^{\infty} \Bigl(e^{-(z+2 k(b-a))^2/2} - e^{(z-2a + 2 k(b-a))^2/2} \Bigr) dz\; . $$ (Disculpas por el uso de z aquí en un contexto diferente.) Si uno realmente quiere, uno puede calcular de esta manera incluso más horrible de la fórmula para la por encima de la probabilidad. Ahora es posible en principio se derivan de que esta es una fórmula para lo que usted desea, al encontrar la función de densidad de $p_{m,M,W}$, y el uso de $$ P(e^M-e^m\le r) = \int_{(x,y,z)\ :\ e^x \le e^z \le e^y \le e^x + r} p_{m,M,W}(x,y,z) d(x,y,z)\;, $$ pero me estremezco al monstruo espero que la caída de este. Podría ser mejor renunciar y simular la probabilidad en cuestión, y encontrar algunas asymptotics.
Sin embargo, si desea continuar con ella, le sugiero que busque no en el Manual De Movimiento Browniano, sino más bien en este papel, ya que es mucho más legible.
MarmouCorp
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647
Vamos a empezar con la articulación de densidad de probabilidad de movimiento Browniano $W_t$, y su máximo $M_t = \max_{0 \le u \le t} W_u$
$\begin{equation} f(m,w) = \frac{2(2m-w)}{T\sqrt{2 \pi T}} \exp \left\{ - \frac{(2m-w)^2}{2T} \right\} \end{equation}$
Tenemos que integrar
$f(\mu,\omega)$ $\omega \in(-\infty,m), \mu \in (0,m), \mu \ge \omega$
para obtener la función de distribución de la máxima.
$P[M_t \le m] = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\frac{m}{\sqrt{t}}} e^{-\frac{-x^2}{2}} dx -\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{-\frac{m}{\sqrt{t}}} e^{-\frac{-x^2}{2}} dx $
La diferenciación vamos a obtener el pdf de la máxima $ f(m) = \frac{2}{\sqrt{2 \pi t}} e^{-\frac{m^2}{2t}} dm$
$m \in (0,\infty)$ es comprensible, ya que los $W_0 = M_0 =0$
Por el principio de reflejo, el mínimo de $\min_{0 \le u \le t} W_u$ tiene el mismo pdf, excepto que $m \in (-\infty,0)$
Por el principio de reflejo también sabemos que
$\forall x \ge0: P[\min_{0 \le u \le t} W_u \le x] = P[\max_{0 \le u \le t} W_u \ge -x]$
por lo tanto
$$ \begin{align} P[\max_{0 \le u \le t} W_u - \min_{0 \le u \le t} W_u \ge x] &= 2 P[\max_{0 \le u \le t} W_u \ge \frac{x}{2}]\\ &= 2 P[\min_{0 \le u \le t} W_u \le -\frac{x}{2}] \\ &= 2 \frac{2}{\sqrt{2 \pi}}\int_{-\infty}^{-\frac{x}{2}} e^{\frac{-m^2}{2}}{d}m\\ \end{align} $$
$\forall x \in -\infty, 0)$
el único problema con esta solución es que la probabilidad añade junto a 2 frente a 1. Supongo que la forma más sencilla de resolver esto sería mediante la eliminación de la 2 en la parte delantera, pero no puede ver ningún matemático razonamiento detrás de hacerlo. Alguna sugerencia?
