conjuntos con límite de medida de Lebesgue positivo

Question

Considere un subconjunto compacto $K$ de $R^n$ que es el cierre de su interior. ¿Su límite $\partial K$ tiene cero medidas de Lebesgue ?

Supongo que está mal, porque el supuesto topológico es invariante w.r.t homeomorfismo, en contraste con ser de medida de Lebesgue cero. Pero no veo ningún simple contraejemplo.

Answer 1

Construya un conjunto Cantor de medidas positivas de la misma manera que hace el conjunto Cantor `estándar', pero asegúrese de que las longitudes de los intervalos eliminados sumen 1/2, por ejemplo. Sea $U$ la unión de los intervalos que se eliminan en los pasos pares y sea $V$ la unión de los intervalos eliminados en los pasos impares. El conjunto Cantor es el límite común de $U$ y $V$; sus cierres son los requeridos.

Answer 2

http://www.jstor.org/pss/1986455 Aquí se construye una curva de Jordania con medidas positivas. Esto da un ejemplo.