Dejemos que $I$ sea un ideal en un anillo graduado conmutativo $R$ , $M$ sea un gradiente finitamente generado $R$ -módulo. Sea $\varepsilon(M)$ sea el menor grado de un elemento homogéneo de $M$ . Un ideal $J$ se llama $M$ -reducción de $I$ si $I^{n+1}M=JI^{n}M$ para algunos $n>0$ . Definir :
$$d(I):=max\lbrace \text{deg}f| f \text{ belongs to a minimal generating set of } I \rbrace$$ $$\rho_{M}(I)=min\lbrace d(J)|J\text{ is an M reduction of I}\rbrace$$
Me encontré con el siguiente problema : $d(I^{n}M)\ge \rho_{M}(I)+\varepsilon(M)$ . Este es un lema de un artículo, que se puede encontrar aquí : http://arxiv.org/abs/math/0212161v1
Aquí está la prueba :
Podemos escribir $I = J + K$ , donde $J$ y $K$ denotan los ideales generados por los elementos homogéneos de $I$ de grado $< \rho_M(I)$ y $\geq \rho_M (I)$ respectivamente. Entonces $I^nM=JI^{n-1}M+K^nM$ Tenga en cuenta que $K^n M$ está generada por elementos homogéneos de grado $\geq \rho_M(I)n+ \varepsilon(M)$ . Si $d(I^{n}M)\ge \rho_{M}(I)+\varepsilon(M)$ entonces $I^{n}M=JI^{n-1}M$ . Por lo tanto, $J$ es un $M$ -reducción de $I$ . Ya que por definición de $J$ , $d(J) <\rho_M (I)$ esto da una contradicción a la definición de $\rho_M (I)$
Mi pregunta es por qué : $I^nM=JI^{n-1}M+K^nM$ ? ¿Cómo podemos conseguirlo?
Por favor, ayúdenme. Gracias.
