¿Qué se puede decir de la concentración de la medida del producto de las variables gaussianas?

Question

Tengo un conjunto de variables aleatorias $X_1,\ldots,X_n$ todos gaussianos con media 0 y varianza 1, indepedientes. Sea $p(x_1,\ldots,x_n)$ sea algún polinomio que tome productos y sumas de $x_1,\ldots,x_n$ .

¿Qué se puede decir de la concentración de la medida de $p(X_1,\ldots,X_n)$ alrededor de $E[p(X_1,\ldots,X_n)]$ ?

Si sólo hubiera interacciones de dos órdenes, creo que buscaría la concentración de la medida para las variables aleatorias de chi-cuadrado, pero desgraciadamente la interacción puede ser de mayor grado.

Answer 1

Hipercontractividad implica que para un polinomio $P$ del grado total $d$ en variables gaussianas y $q \geq 2$ tenemos $$ \|P\|_{L^q} \leq (q-1)^{d/2} \|P\|_{L^2} .$$ Aplicando la desigualdad de Markov para el óptimo $q$ produce entonces para $t \geq C_d$ $$ \mathrm{Prob} \left(|P- \mathbf{E} P| \geq t \sqrt{\mathrm{Var}(P)} \right) \leq \exp(-c_d t^{2/d} ) $$ para algunas constantes $C_d,c_d$ .

Answer 2

Del resumen del artículo Schudy y Sviridenko : "En este trabajo diseñamos un método general para demostrar desigualdades de momento para polinomios de variables aleatorias independientes. Nuestro método funciona para una amplia gama de variables aleatorias, incluyendo las gaussianas, booleanas, exponenciales, de Poisson y muchas otras. Aplicamos nuestro método para derivar desigualdades de concentración generales para polinomios de variables aleatorias independientes. [Demostramos que nuestra desigualdad de concentración es más fuerte que la conocida desigualdad de concentración de Kim y Vu".

Answer 3

Si el polinomio es de bajo grado, prueba el método Kim-Vu: http://research.microsoft.com/en-us/um/redmond/groups/theory/jehkim/papers/polycon.pdf

Answer 4

Su problema parece difícil a primera vista, porque hay muchos elementos, pero ¿lo es realmente?

Se tiene un polinomio de variables gaussianas. Puedes calcular explícitamente la varianza de esa cantidad (la fórmula para la varianza va a ser espantosa, pero puedes hacerlo), y luego, sólo tienes que usar la desigualdad de Chebyshev y tienes una bonita desigualdad de concentración

¿No sería lo suficientemente potente para lo que necesitas hacer?