Equivalente a la definición de absolutamente continua

Question

Una función de $f$ es absolutamente continua en $[a,b]$ está definido por: para cada una de las $\varepsilon>0$, hay un $\delta>0$, para cada finito distinto intervalo abierto $\{(c_k,d_k)\}_{k=1}^n$$[a,b]$, tenemos $$ \text{si}\,\, \sum_{k=1}^n (d_k-c_k)<\delta, \,\,\text{entonces}\,\, \sum_{k=1}^n\left|f(d_k)-f(c_k)\right|<\varepsilon. $$

Sin embargo, en el libro que estoy leyendo, se dice que hay un equivalente definición, dicen $$ \text{si}\,\, \sum_{k=1}^n (d_k-c_k)<\delta,\,\, \text{entonces}\,\, \left|\sum_{k=1}^n f(d_k)-f(c_k)\right|<\varepsilon. $$

Sin embargo, no puedo probarlo. Cómo?

Answer 1

Asumir la segunda condición que se cumple para algunos $\delta$ $\varepsilon$ y elegir en distintos intervalos de $(c_k,d_k)$$\sum\limits_kd_k-c_k\lt\delta$. A continuación, $\sum\limits_+d_k-c_k\lt\delta$ donde $\sum\limits_+$ indica que la suma se limita a los índices de $k$ tal que $f(d_k)\gt f(c_k)$. En particular,$\sum\limits_+ |f(d_k)-f(c_k)|=\sum\limits_+ f(d_k)-f(c_k)\lt\varepsilon$.

Asimismo, $\sum\limits_- |f(d_k)-f(c_k)|=-\sum\limits_- f(d_k)-f(c_k)=\left|\sum\limits_- f(d_k)-f(c_k)\right|\lt\varepsilon$ donde $\sum\limits_-$ indica que la suma se limita a los índices de $k$ tal que $f(d_k)\leqslant f(c_k)$.

Sumando estas dos contribuciones, uno ve que la primera condición tiene por $\delta$$2\varepsilon$.

La otra implicación es directa.