Un uso del Teorema de la Función Implícita

Question

Sinceramente, no entiendo bien la pregunta. Como prueba, he definido una función $G:\mathbb{R}^{2+1}\rightarrow \mathbb{R}^2$ donde $G(x,y,z)=(f_1(x,y,z),f_2(x,y,z))$ para que $f_1(x,y,z)=x-y$ y $f_2(x,y,z)=y-z$ . Entonces, para satisfacer la condición del teorema de la función implícita, necesitamos $G(a,b,c)=(0,0)$ para algunos $(a,b,c)\in \mathbb{R}^2$ . Eso ocurre cuando $a=b=c$ . Por lo tanto, creo que he terminado con la primera parte, pero no estoy seguro. ¿Estoy en lo cierto? En segundo lugar, ¿cómo puedo derivar esas fórmulas explícitas? Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Una pista.

Si se fija $$G(x,y,z)=F(x-y,y-z)$$ hay que mirar los puntos $(a,b,c)$ donde $$G(a,b,c)=F(a-b,b-c)=0.$$ También es necesario tener en esos puntos $\frac{\partial G}{\partial z}\neq 0$ y utilizando la regla de la cadena se tiene $$\frac{\partial G}{\partial z}(x,y,z) = -\frac{\partial F}{\partial x_2}(x,y,z).$$ Finalmente se obtienen las dos condiciones $$\begin{cases} F(a-b,b-c)=0\\ \frac{\partial F}{\partial x_2}(a-b,b-c) \neq 0 \end{cases}$$ Para calcular las derivadas parciales de $z(x,y)$ tienes que usar la regla de la cadena.