Homeomorfismo entre el producto de Kronecker $U(N)\otimes U(k)$ y un producto directo de grupos de Lie

Question

Estoy considerando el espacio $A$ que consiste en el producto de Kronecker: \begin{eqnarray} A=\{U(N)\otimes U(k)\}, \end{eqnarray} donde $U(N)$ es el $N$ por $N$ matrices unitarias y $\otimes$ denota el producto Kronecker de matrices.

Mi pregunta es si podemos encontrar un homeomorfismo entre $A$ y algún producto directo de grupo de Lie de la forma \begin{eqnarray} U(1)\times\cdots\times U(1)\times SU(N)\times SU(k). \end{eqnarray} Aquí, para distinguir del producto de Kronecker $\otimes$ utilizamos $\times$ para denotar el producto directo de grupos.

Answer 1

Creo que el Producto Kronecker es lo mismo que el producto tensorial ¿Representado en relación con una base?

Pero en general el producto tensorial es algo que hacemos con los espacios lineales, no con los grupos de Lie. Así que no tengo realmente una respuesta a tu pregunta, excepto para decir que no parece una pregunta muy natural. Considera esto quizás un comentario extendido en lugar de un intento de respuesta.

Sin embargo, recuerde que $U(n)$ se define como un conjunto de matrices que preservan alguna forma hermitiana en un espacio vectorial. Definitivamente, tiene sentido tomar productos tensoriales de esos espacios vectoriales, y ver cómo las matrices actúan sobre el espacio resultante. La descomposición es un poco complicada, con el nombre de Coeficientes de Clebsch-Gordon .