Tengo un problema con dos formas de la regla de generalización en lógica.
Shoenfield demuestra en su libro que si $T\vdash\phi$ donde $T$ es un conjunto de fórmulas y $\phi$ es una fórmula, entonces $T\vdash\forall x\phi$ .
Su prueba es, "de $T\vdash\phi$ y la tautología $\phi\to(\lnot\forall x\phi\to\phi)$ , $T\vdash\lnot\forall x\phi\to\phi$ . Entonces por el $\forall$ -regla de introducción, $T\vdash\lnot\forall x\phi\to\forall x\phi$ Así que $T\vdash\forall x\phi$ por la tautología $(\lnot\forall x\phi\to\forall x\phi) \to\forall x\phi$ " ("El $\forall$ -La regla de introducción puede ser deducida por el $\exists$ -regla de introducción que se considera como una de las reglas de inferencia en el libro).
Por otro lado, Enderton demuestra que si $T\vdash\phi$ y $x$ no aparecen libres en ninguna fórmula en $T$ entonces $T\vdash\forall x\phi$ y dice la restricción que $x$ no se produce de forma gratuita en $T$ es esencial, mientras que Shoenfield no restringe nada.
Así que $Px\vdash\forall x (Px)$ por Shoenfield y puede que no por Enderton. Me pregunto por qué ocurre esto.
Mi opinión es que esto ocurre por la diferencia entre su definición de $\vDash$ para conjuntos de fórmulas". Enderton define que $Px\vDash\forall x Px$ si para cada estructura $\mathfrak A$ y cada $a\in A$ El universo de $\mathfrak A$ , de tal manera que $\mathfrak A\vDash Px[a]$ , $\mathfrak A\vDash\forall x Px$ . Pero Shoenfield escribe $Px\vDash\forall x Px$ cuando para cada estructura $\mathfrak A$ tal que $\forall a\in A(\mathfrak A\vDash Px[a])$ , $\mathfrak A\vDash\forall x Px$ . Obviamente, $Px\not\vDash\forall x Px$ con la definición de Enderton y $Px\vDash\forall x Px$ con la de Shoenfield.
¿Hay otras que expliquen por qué ocurre? y ¿Qué definición se utiliza en las matemáticas modernas?
