Es el producto de primos consecutivos en $(a, b)[{n}]$ $=$ $1$ $\pmod ab$ ?

Question

Dos enteros relativamente primos, $a$ $>$ $2$ y $b$ $>$ $2$ , dejemos que $(a, b)[{n}]$ denotan todos los primos $p$ que son $1$ $\mod a$ y o $1$ $\mod b$ y $p$ relativamente primo de ab ( $n$ denota el $n$ de este conjunto, si se define).

¿Se puede demostrar que un producto de todos los primos consecutivos en $(a, b)[{n}]$ (hasta el infinito) en algún momento será $1$ $\pmod {ab}$ ?

En otras palabras, ¿se daría el caso de que el producto todos los primos en $(a, b)[{n}]$ al infinito nunca es $1$ $\pmod {ab}$ .

Dejemos que $P(a, b)$ sea el primo más pequeño $p$ tal que el producto de todos los primos $x$ en $(a, b)[{n}] <= p$ es $1$ $\pmod {ab}$ .

Por ejemplo, $P(3, 4) = 19$ ya que el producto de los primos $\le 19$ o bien congruente $1$ $\pmod 3$ y o $1$ $\pmod 4$ relativamente primo a $12$ es $1$ $\pmod {12}$ .

Los tres primeros pares más pequeños, $P(3, 4) = 19$ , $P(3, 5) = 103$ , $P(3, 7) = 283$ .

$(3, 4)$

$5*7*13*17*19$ $=$ 1 $\pmod {12}$

$(3, 5)$

$7*11*13*19*31*37*41*43*61*67*71*73*79*97*101*103$ $=$ $1$ $\pmod {15}$

$(3, 7)$

$13*19*29*31*37*43*61*67*71*73*79*97*103*109*113*127*139*151*157*163*181*193*197*199*211*223*229*239*241*271*277*281*283$ $=$ $1$ $\pmod {21}$

Answer 1

No es una respuesta, pero he programado una función $q(a,b)$ en PARI/GP y he comprobado los pares coprimos ( $a,b$ ) con $1\le a<b\le 100$ . El mayor primo en este rango ocurre para el par $(77,97)$ .

Es $16403311$ .

Continuaré la búsqueda.

Realmente no tengo idea de cómo demostrar que siempre se obtiene la equivalencia deseada, pero como $(a,b)$ son coprimos el teorema del resto chino podría ayudar.