Un punto y una elipse

Question

En particular, tengo que encontrar el valor exacto de la distancia mínima de $P(- \frac {15}{4},1)$ a la elipse $\frac {x^2}{4} + \frac {y^2}{9} =1$

Por lo tanto, si $\frac {x^2}{a^2} + \frac {y^2}{b^2} = 1$ es una elipse, con la parametrización $x()(a \cos ,b \sin ),$ Tengo que encontrar el valor de $$ giving the minimum distance from $P(p,q)$ (not on the ellipse) to the ellipse is given by a quartic in $t= \tan( \frac {}{2}).$ A necessary condition for $x$ to be the closest point to $P$ is that $P-x$ is perpendicular to the tangent vector in $x ,$ i.e. $(P-x() ). x' ()=0$

No puedo manejar la condición anterior para hacer una función (por ejemplo $f()$ ) para encontrar el valor mínimo calculando la derivada $f'()=0$ por ejemplo. Entonces tengo que demostrar que los valores racionales y no nulos de $a, b, p, q$ se puede encontrar tal que el cuático se factoriza como el producto de dos cuadráticas con coeficientes racionales. ¿Alguna ayuda? Gracias

Answer 1

Resolvamos esto paso a paso:

Las ecuaciones paramétricas de la elipse son:

$$x=2\cos\varphi,\quad y=3\sin\varphi$$

La pendiente de la tangente es:

$$y'=\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{d\varphi}}{\frac{dx}{d\varphi}}=-\frac{3\cos\varphi}{2\sin\varphi}$$

Supongamos que el punto $A$ que está buscando tiene $\varphi=\varphi_1$

La línea $AP$ tiene que ser perpendicular a la tangente, lo que significa que la pendiente de $AP$ tiene que ser igual a $-1/y'_1$ . En otras palabras:

$$\frac{1-3\sin\varphi_1}{-\frac{15}{4}-2\cos\varphi_1}=\frac{2\sin\varphi_1}{3\cos\varphi_1}$$

Esto se transforma en una ecuación:

$$6\cos\varphi_1+15\sin\varphi_1-10\sin\varphi_1\cos\varphi_1=0$$ .

Introducir la subtitución:

$$t=\tan\frac{\varphi_1}{2}, \quad \sin\varphi_1=\frac{2t}{1+t^2}, \quad \cos\varphi_1=\frac{1-t^2}{1+t^2}$$

La ecuación se convierte en:

$$3t^4-25t^3-5t-3=0$$

...y esto puede ser factorizado como:

$$(t^2-8t-3)(3t^2-t+1)=0$$

Así que es o bien:

$$3t^2-t+1=0$$

...o

$$t^2-8t-3=0$$

La primera ecuación no tiene soluciones reales, puedes ignorarla por completo. Y la segunda es fácil de resolver. Creo que puedes seguir a partir de aquí.