El pregunta real : cuando $A$ es la matriz compañera, por lo que la forma general de $M_i$ (el grupo de columnas de la matriz de Jordan $M$ que pertenece al bloque asociado a $\lambda_i$ ) es:
$$ M_i^{h,j} = \binom {h-1}{j-1} \lambda_i^{h-j} $$
$A$ tiene orden $n$ , $h$ es el índice de la fila (por tanto $1 \le h \le n$ ), $j$ es el índice de la columna ( $1 \le j \le \mu_i$ con $\mu_i$ la multiplicidad algebraica de $\lambda_i$ ).
Explicación de la primera columna de $M_i$ . Dado el polinomio característico:
$$ p(z) = \frac 1a_n(a_nz^n + \dots + a_1z + a_0) $$
La correspondiente matriz de acompañamiento $A$ es:
$$ \begin{bmatrix} 0 & 1 &&& \\ & \ddots & 1 &&\\ &&\ddots&\ddots &\\ &&& 0 & 1\\ - \frac{a_0}{a_n} & - \frac{a_1}{a_n} & \cdots & -\frac{a_{n-2}}{a_n} & -\frac{a_{n-1}}{a_n} \end{bmatrix} $$
Porque $A$ es la matriz compañera, sabemos que hay $d$ valores propios distintos, cada uno con una multiplicidad geométrica 1 .
La matriz de Jordan está formada por $d$ bloques: $J = diag(J(\lambda_1), \dots, J(\lambda_d))$ Cada bloque $J(\lambda_i)$ asociado con el valor propio $\lambda_i$ tiene la forma:
$$ J(\lambda_i) = \begin{bmatrix} \lambda_i & 1 & & \\ & \lambda_i & \ddots &\\ & & \ddots & 1\\ & & & \lambda_i\\ \end{bmatrix} $$
La matriz de Jordan $M$ puede dividirse en $d$ grupos (un grupo genérico sería $M_i$ ). Las columnas de $M_i$ forma el Cadena de Jordania :
$$ M_i = \begin{bmatrix}v_{i,1} & v_{i, 2} & \dots & v_{i, \mu_i}\end{bmatrix} $$
El primer vector $v_{i,1}$ es el vector propio, otros son los vectores propios generalizados. El último índice es $\mu_i$ la multiplicidad algebraica del valor propio $\lambda_i$ .
Calculemos la primera columna de $M_i$ . Sabemos que $AM_i = M_iJ(\lambda_i)$ . Calculando el producto en la columna a la vez y obtenemos (para la primera columna):
$$ Av_{i,1} = \lambda_iv_{i,1} $$
Esta es la definición exacta de vector propio. Resolviendo $(A-\lambda_iI)v_{i,1} = 0$ es fácil, debido a la estructura de $A$ :
$$ A-\lambda_iI = \begin{bmatrix} -\lambda_i & 1 &&& \\ & \ddots & 1 &&\\ &&\ddots&\ddots &\\ &&& -\lambda_i & 1\\ - \frac{a_0}{a_n} & - \frac{a_1}{a_n} & \cdots & -\frac{a_{n-2}}{a_n} & -\frac{a_{n-1}} {a_n} -\lambda_i \end{bmatrix} $$
En primer lugar $n-1$ son linealmente independientes, $A-\lambda_iI$ es singular por lo que la última fila puede ser ignorada. Primera $n-1$ nos da (nótese que $v_{i,1}^{1} \dots v_{i,1}^{n}$ son las coordenadas del vector):
$$\begin{align} v_{i,1}^{2} &= \lambda_i v_{i,1}^{1}\\ v_{i,1}^{3} &= \lambda_i v_{i,1}^{2} = \lambda_i^2 v_{i,1}^{1} \\ v_{i,1}^{4} &= \lambda_i v_{i,1}^{3} = \lambda_i^3 v_{i,1}^{1} \\ \vdots\\ v_{i,1}^{n} &= \lambda_i^{n-1} v_{i,1}^{1} \end{align} $$
¡Hecho! La forma general de la primera fila de $M_i$ es entonces:
$$ M_{i,1} = \begin{bmatrix} 1 \\ \lambda_i \\ \lambda_i^2 \\ \vdots \\ \lambda_i^{n-1} \end{bmatrix} $$
