El pregunta real : cuando A es la matriz compañera, por lo que la forma general de Mi (el grupo de columnas de la matriz de Jordan M que pertenece al bloque asociado a λi ) es:
M_i^{h,j} = \binom {h-1}{j-1} \lambda_i^{h-j}
A tiene orden n , h es el índice de la fila (por tanto 1 \le h \le n ), j es el índice de la columna ( 1 \le j \le \mu_i con \mu_i la multiplicidad algebraica de \lambda_i ).
Explicación de la primera columna de M_i . Dado el polinomio característico:
p(z) = \frac 1a_n(a_nz^n + \dots + a_1z + a_0)
La correspondiente matriz de acompañamiento A es:
\begin{bmatrix} 0 & 1 &&& \\ & \ddots & 1 &&\\ &&\ddots&\ddots &\\ &&& 0 & 1\\ - \frac{a_0}{a_n} & - \frac{a_1}{a_n} & \cdots & -\frac{a_{n-2}}{a_n} & -\frac{a_{n-1}}{a_n} \end{bmatrix}
Porque A es la matriz compañera, sabemos que hay d valores propios distintos, cada uno con una multiplicidad geométrica 1 .
La matriz de Jordan está formada por d bloques: J = diag(J(\lambda_1), \dots, J(\lambda_d)) Cada bloque J(\lambda_i) asociado con el valor propio \lambda_i tiene la forma:
J(\lambda_i) = \begin{bmatrix} \lambda_i & 1 & & \\ & \lambda_i & \ddots &\\ & & \ddots & 1\\ & & & \lambda_i\\ \end{bmatrix}
La matriz de Jordan M puede dividirse en d grupos (un grupo genérico sería M_i ). Las columnas de M_i forma el Cadena de Jordania :
M_i = \begin{bmatrix}v_{i,1} & v_{i, 2} & \dots & v_{i, \mu_i}\end{bmatrix}
El primer vector v_{i,1} es el vector propio, otros son los vectores propios generalizados. El último índice es \mu_i la multiplicidad algebraica del valor propio \lambda_i .
Calculemos la primera columna de M_i . Sabemos que AM_i = M_iJ(\lambda_i) . Calculando el producto en la columna a la vez y obtenemos (para la primera columna):
Av_{i,1} = \lambda_iv_{i,1}
Esta es la definición exacta de vector propio. Resolviendo (A-\lambda_iI)v_{i,1} = 0 es fácil, debido a la estructura de A :
A-\lambda_iI = \begin{bmatrix} -\lambda_i & 1 &&& \\ & \ddots & 1 &&\\ &&\ddots&\ddots &\\ &&& -\lambda_i & 1\\ - \frac{a_0}{a_n} & - \frac{a_1}{a_n} & \cdots & -\frac{a_{n-2}}{a_n} & -\frac{a_{n-1}} {a_n} -\lambda_i \end{bmatrix}
En primer lugar n-1 son linealmente independientes, A-\lambda_iI es singular por lo que la última fila puede ser ignorada. Primera n-1 nos da (nótese que v_{i,1}^{1} \dots v_{i,1}^{n} son las coordenadas del vector):
\begin{align} v_{i,1}^{2} &= \lambda_i v_{i,1}^{1}\\ v_{i,1}^{3} &= \lambda_i v_{i,1}^{2} = \lambda_i^2 v_{i,1}^{1} \\ v_{i,1}^{4} &= \lambda_i v_{i,1}^{3} = \lambda_i^3 v_{i,1}^{1} \\ \vdots\\ v_{i,1}^{n} &= \lambda_i^{n-1} v_{i,1}^{1} \end{align}
¡Hecho! La forma general de la primera fila de M_i es entonces:
M_{i,1} = \begin{bmatrix} 1 \\ \lambda_i \\ \lambda_i^2 \\ \vdots \\ \lambda_i^{n-1} \end{bmatrix}