¿Cuál es la intuición de la varianza, la variación cuadrática y la variación total del movimiento browniano en la práctica?

Question

Conozco las definiciones matemáticas de estas tres magnitudes, pero me cuesta entenderlas realmente cómo utilizarlos cuando se trata de muestras discretas de una realización de un BM . Por ejemplo, ¿por qué necesitaríamos tres cantidades para describir el grado de incertidumbre de un proceso? Si tomamos muestras finitas y discretas de una realización de BM ( $x_1, \ldots, x_N$ ), y calcular la "varianza" como $E[(x_i - \bar{x})^2]$ ¿tiene algún sentido?

EDIT: la parte en negrita

Answer 1

Aparte de las definiciones muy técnicas del movimiento browniano, la más sencilla es que si se ejecuta el movimiento browniano desde un punto de partida $B_0=x$ la distribución resultante $B_t$ en el momento $t$ es gaussiano, con media $x$ y la varianza $t$ . Esto es útil porque te da una idea de cómo se extenderá el movimiento browniano después del tiempo $t$ en relación con un punto de partida $x$ .

Con respecto a la variación cuadrática, ésta se define principalmente como una herramienta para evaluar integrales que implican movimiento browniano. Las integrales típicas son las siguientes $\int_0^t f(t,B_t)dB_t$ o incluso más simple, $\int_0^t f(B_t)dB_t$ . Heurísticamente, se puede evaluar esta integral numéricamente tomando una pequeña partición $[t_0=0,t_1,...,t_n,t_{n+1}=t]$ de $[0,t]$ :

$$\int_0^tf(B_t)dB_t\approx \sum_{i=0}^nf(B_{t_n})[B_{t_{n+1}}-B_{t_n}]$$

Visualmente esto parece:

Aquí la curva negra representa $f(B_t)$ y la curva azul es el movimiento browniano, que oscila y da un valor correspondiente a $f(B_t)$ . También seguimos el cambio relativo del movimiento browniano por $[B_{t_{n+1}}-B_{t_n}]$ . Esto puede generalizarse a $f(t,B_t)$ introduciendo otra dimensión para el tiempo.

La variación cuadrática surge cuando consideramos el Ito isometría :

$$\mathbb{E} \left[ \left( \int_0^T X_t \, \mathrm{d} W_t \right)^2 \right] = \int_0^T \mathbb{E} \left[X_t^2\right] \, \mathrm{d} t$$

donde uno cuadrados la integral original y, en consecuencia, obtiene términos que implican $[B_{t_{n+1}}-B_{t_n}]^2$ en la aproximación numérica y en el límite. Así, la variación cuadrática capta la deriva relativa de su proceso estocástico en un intervalo de tiempo. Los detalles técnicos están fuera del alcance de esta respuesta, pero la necesidad básica de la variación cuadrática surge porque la variación total del movimiento browniano, $\sum_{i=0}^n|B_{t_{n+1}}-B_{t_n}|$ es casi seguro que divergir en el límite, mientras que $\sum_{i=0}^n[B_{t_{n+1}}-B_{t_n}]^2$ convergerán casi con toda seguridad. El hecho de que la variación cuadrática converja permite dar sentido a las integrales de Ito (a través de un análogo la desigualdad de Cauchy Schwartz).