Estimación del tiempo en la señal armónica

Question

Espero que alguien pueda ayudarme con el siguiente problema:

Supongamos una señal periódica de la forma

$$\begin{align} s(t) &= \sum\limits_{p=1}^P \sin(p\Omega_0t)\\ &= \sum\limits_{p=1}^P \sin(\theta_p(t)), \end{align}$$

con $0 \leq t < \frac{2\pi}{\Omega_0}$ (sólo un período de la frecuencia fundamental).

Tomamos medidas $\theta^*_p(t_0)$ de las fases $\theta_p(t_0)$ en un momento determinado (desconocido) $t_0$ para $p \in [2,\ldots,P]$ (es decir, para todos los armónicos excepto la fundamental). Las mediciones se envuelven en fase, es decir, se proyectan al intervalo $[-\pi,\pi[$ : $$ \theta^*_p(t_0) = \theta_p(t_0) + n_p \cdot 2\pi $$ ¿Cómo podemos estimar/determinar el tiempo $t_0$ en la que se han realizado las mediciones?

He aquí un diagrama para ilustrar el problema:
Del diagrama se desprende que para $p=2$ el valor de la fase $\theta^*_2(t_0)$ puede ocurrir en dos momentos (véase el marcador rojo). Para $p=3$ el valor de la fase $\theta^*_3(t_0)$ puede ocurrir en tres puntos en el tiempo, etc. Pero sólo en $t_0$ todos caen juntos. ¿Podemos utilizar esta propiedad para estimar $t_0$ ?

Answer 1

OK, la fase es obviamente lineal en el tiempo aquí, así que debemos asumir que las medidas de fase, cuando se desenvuelven, quieren caer en una línea. Así que la idea, aunque un poco cruda, es ir a través de las mediciones para aumentar $p$ y aumentar el $p$ fase en incrementos de $2 \pi$ hasta que esa fase sea mayor que la $p-1$ fase. A modo de ejemplo, permítame extraer algunos valores de sus gráficos:

$$\left ( \begin{array} \\2 t_0 & 0.33 \pi \\ 3 t_0 & -0.55 \pi \\ 4 t_0 & 0.55 \pi \\ 5 t_0 & -0.39 \pi\end{array} \right )$$

Comience por tomar el valor de la fase en $t=2 t_0$ tal cual. Para la fase en $t=3 t_0$ , ver que es menor que la fase en $t=2 t_0$ por lo que se incrementa en $2 \pi$ para conseguir $1.45 \pi$ que es la fase más pequeña mayor que la anterior; entonces pasamos a $4 t_0$ y espero que entiendas el punto. Cuando termine, obtendrá algo como esto

$$\left ( \begin{array} \\2 t_0 & 0.33 \pi \\ 3 t_0 & 1.45 \pi \\ 4 t_0 & 2.55 \pi \\ 5 t_0 & 3.61 \pi\end{array} \right )$$

La línea de mejor ajuste tiene la forma $\theta(p) = -1.844 \pi+1.094 \pi p$ Así que, al enchufar $p=1$ correspondiente a $t=t_0$ se obtiene una fase de aproximadamente $-0.75 \pi$ (lo que tiene sentido en su gráfico), por lo que sabiendo $\Omega_0$ se puede entonces determinar el valor de $t_0$ . Espero que eso ayude.

Answer 2

Si he entendido bien su caso, entonces

dado:

$$2 \Omega_0 t_0 = \theta_2$$ $$3 \Omega_0 t_0 = \theta_3$$ $$\dots$$

y $\theta_2$ y $\theta_3$ conocido, entonces

$$\Omega_0=\frac{\theta_2}{2 t_0}=\frac{\theta_3}{3 t_0}=\dots=\frac{\theta_p}{p t_0}$$

Por lo que se ve de sus limitaciones dadas, $t_0$ puede ser cualquier momento, (cambiará a través de todos los armónicos) y el sistema está subdeterminado .

La respuesta bajo las restricciones dadas es que no podemos especificar un $t_0$ o ( $\Omega_0$ ).

Para la nueva información que has aportado en tu pregunta tenemos ahora

$$\theta^*_p(t_0) - n_p \cdot 2\pi = \theta_p(t_0) $$

por lo tanto:

$$\Omega_0=\frac{\theta^*_2(t_0) - n_2 \cdot 2\pi }{2 t_0}=\dots=\frac{\theta^*_p(t_0) - n_p \cdot 2\pi }{p t_0}$$

No se ve mejor para conseguir $t_0$ .