Dar sentido a la QFT

Question

No entiendo qué es lo que estamos tratando de hacer en QFT. Actualmente estoy en el comienzo del curso y todavía no se me ha pintado una imagen clara de lo que estamos tratando de lograr.

De lo que he podido deducir es que, para un campo de espín 0, deseamos tener un campo operador-densidad que satisfaga la ecuación de Klein Gordon y luego otro campo operador-densidad que satisfaga la relación de conmutación tipo momento-posición con este campo. Ahora, después de esto, construimos un campo operador-densidad hamiltoniano y lo integramos sobre el espacio para obtener el operador hamiltoniano del campo escalar.

Ahora bien, ¿se supone que este operador hamiltoniano se aplica en la ecuación de Schrodinger en QM? ¿Cuál es el espacio vectorial sobre el que va a actuar este operador hamiltoniano? ¿Cuándo/cómo van a entrar en escena los procesos de creación-aniquilación de partículas?

¿Puede alguien proporcionarme una imagen/mapa de ruta de las cosas que estamos tratando de hacer en QFT? Como en QM, sustituimos el conocimiento de la partícula por una función de onda/estado cuántico y luego tenemos un operador de evolución para este estado.

Answer 1

Para responder a sus preguntas concretas:

Ahora bien, ¿se supone que este operador hamiltoniano se aplica en el ecuación de Schrodinger en QM?

Sí. Este operador describe la evolución del estado cuántico exactamente de la misma manera que usted está acostumbrado. Es decir, el estado en un momento determinado es un vector en un espacio de Hilbert, digamos $\lvert\text{state}\rangle$ y el estado algún tiempo $t$ más tarde es $e^{-iHt}\lvert\text{state}\rangle$ . Esto plantea la cuestión...

Cuál es el espacio vectorial en el que va a actuar este operador hamiltoniano sobre él?

En general, el espacio de Hilbert de una QFT es la extensión compleja del espacio de configuraciones de campo. Por ejemplo, para un campo escalar real, las configuraciones de campo son todas las funciones del espacio $\mathbb{R}^d$ (no el espacio-tiempo, sólo el espacio) a $\mathbb{R}$ . Simbólicamente el conjunto de configuraciones de campo $B$ es

$$B=\{\phi\,|\,\phi:\mathbb{R}^d\rightarrow\mathbb{R}\}.$$

Ahora toma $B$ para ser el base formal para un espacio vectorial $\mathcal{H}$ . Este es el espacio de Hilbert de la QFT. Así que si $\phi_1$ y $\phi_2$ son dos funciones diferentes de $\mathbb{R}^d$ a $\mathbb{R}$ el espacio de Hilbert incluirá estados como $\vert\phi_1\rangle$ , $\vert\phi_2\rangle$ y $\alpha\vert\phi_1\rangle+\beta\vert\phi_2\rangle$ . (Tenga en cuenta que es no el caso de que $\alpha\vert\phi\rangle=\vert\alpha\phi\rangle$ y es no el caso de que $\vert\phi_s\rangle+\vert\phi_2\rangle=\vert\phi_1+\phi_2\rangle$ . Las combinaciones lineales como $\alpha\vert\phi_1\rangle+\beta\vert\phi_2\rangle$ son formal . También hay que tener en cuenta que tomamos los diferentes elementos de $B$ para ser formalmente ortogonal. Por lo tanto, si $\phi_1\neq\phi_2$ tenemos $\langle\phi_2\vert\phi_1\rangle=0$ .) Este espacio de Hilbert $\mathcal{H}$ es efectivamente el espacio de Hilbert sobre el que actúa el operador hamiltoniano. Así, por ejemplo, en algún momento el estado del universo podría ser $\alpha\vert\phi_1\rangle+\beta\vert\phi_2\rangle$ . Entonces el estado del universo en algún momento $t$ más tarde será $$ e^{-iHt}(\alpha\vert\phi_1\rangle+\beta\vert\phi_2\rangle). $$ Tal y como estás acostumbrado.

(Se podría considerar que tener un espacio de Hilbert de esta forma es una definición de lo que es una QFT es . Al fin y al cabo, está en el nombre: un quantum campo es sólo una teoría cuántica en la que los estados son superposiciones de configuraciones de campo, en lugar de, digamos, superposiciones de configuraciones de partículas. Todos los demás objetos/propiedades de los que se suele hablar en un curso de QFT, como los lagrangianos, la simetría de Lorentz, etc., son sólo extras. De hecho, hay QFTs adecuadas sin formulaciones lagrangianas, o sin simetría de Lorentz, etc.)

¿Cuándo/cómo va a entrar en escena el proceso de creación-aniquilación de partículas en el panorama?

Ahora tenemos un espacio de Hilbert $\mathcal{H}$ y tenemos una base para ello, $B$ . Como en cualquier espacio vectorial, hay muchas opciones de bases para $\mathcal{H}$ . La base $B$ resulta no ser la única base (o incluso la más útil). Recordemos que en la QM de una partícula, junto a la base de posición $\{\vert x\rangle\}_{x\in\mathbb{R}}$ una base común para el espacio de Hilbert es la base del estado propio del oscilador armónico: $\{\vert0\rangle,a^\dagger\vert0\rangle,a^\dagger a^\dagger\vert0\rangle,\ldots\}$ . En la QFT se habla a menudo de la base del "espacio de Fock", que es análoga a la base del estado propio del oscilador armónico con la que estás familiarizado de la QM de una partícula.

Los elementos de $B$ tienen la interpretación física de las configuraciones de campo. Los elementos de la base Fock, en cambio, tienen la interpretación física de las partículas. Estas dos bases para $\mathcal{H}$ están, por supuesto, relacionados por algo así como una transformación unitaria. Así que los estados de la base de Fock como $a^\dagger_p a^\dagger_q\vert 0\rangle$ puede escribirse como una "suma" de estados de configuración del campo como $\vert \phi\rangle$ . Y los estados de configuración del campo como $\vert \phi_1\rangle$ o $\alpha\vert\phi_1\rangle+\beta\vert\phi_2\rangle$ pueden escribirse como "sumas" de estados de la base de Fock. En la práctica, la forma de ir y venir entre estas dos bases es a través de la relación $$ \hat{\phi}(x)=\int\!\frac{\mathrm{d}^dp}{(2\pi)^d}\,\frac{1}{\sqrt{2\omega_p}}(a_pe^{-ip\cdot x}+a^\dagger_pe^{ip\cdot x}), $$ donde $\hat{\phi}(x)$ son los operadores de campo, cuyos elementos de $B$ son estados propios. (por ejemplo, el operador $\hat{\phi}(x)$ actuando sobre $\vert\phi_1\rangle\in B$ da $ \hat{\phi}(x)\vert\phi_1\rangle=\phi_1(x)\vert\phi_1\rangle. $ )

Tenga en cuenta que todo lo anterior es sólo un esbozo. Pero es el boceto que deberías tener en la cabeza cuando aprendes sobre la QFT. Ahora, un poco de editorialización. Muchos libros de texto y cursos hacen un mal trabajo al explicar estos fundamentos. De hecho, la pedagogía de la QFT está plagada de conceptos erróneos como la "segunda cuantificación" y afirmaciones falsas como "la QFT es la QM hecha compatible con la relatividad especial", "las ecuaciones de Klein-Gordon y Dirac son versiones relativistas de la ecuación de Schrodinger", "en la QFT utilizamos la ecuación de Heisenberg, no la ecuación de Schrodinger", "sustituimos la función de onda de la QM por el operador de campo", "no hay funciones de onda en la QFT", y un millón más.

Answer 2

La versión rápida y sucia es que se modelan todas las partículas de un tipo determinado como excitaciones de una serie de osciladores armónicos cuánticos:

$$ H = \int\frac{\mathrm{d}^{3}\vec{p}}{(2\pi)^3} E_{\vec{p}} \left(a_{\vec{p}}^{\dagger}a_{\vec{p}} + \frac{1}{2}\right) $$

por lo que una partícula de momento $\vec{p}$ sería el $|1\rangle$ estado del oscilador armónico de momento $\vec{p}$ . Nota $E_{\vec{p}}^2 - \vec{p}^2 = m^2$ en unidades naturales y $E_{\vec{p}}$ es una frecuencia angular por la relación de Broglie. Para simplificar esto se define una cosa llamada "operador de campo" que permite trabajar en el espacio de la posición en lugar del momento:

$$ \phi = \int\frac{\mathrm{d}^{3}\vec{p}}{(2\pi)^3}\frac{1}{2E_{\vec{p}}}\left(a_{\vec{p}} \mathrm{e}^{-ipx} + a^{\dagger}_{\vec{p}} \mathrm{e}^{ipx}\right) $$

donde $p$ y $x$ sin flechas indica cuatro vectores y cuatro posiciones. Si se introduce esto y se hace el álgebra, se obtiene el hamiltoniano teórico de campo estándar para un campo libre (escalar):

$$ H = \int \mathrm{d}^{3}\vec{x}\left(\left(\frac{\partial\phi}{\partial t}\right)^2 + \left(\nabla\phi\right)^2 - m^2\phi^2\right) $$

El espacio de Hilbert para este hamiltoniano es justo lo que se espera de un conjunto de osciladores armónicos:

$$ \mathcal{H} = \bigotimes_{\vec{p}}\mathcal{H}_{\vec{p}} $$

donde $\mathcal{H}_{\vec{p}}$ es el espacio de Hilbert para un solo oscilador armónico, y en la expresión para el Hamiltoniano hemos suprimido realmente una serie incontable de $\otimes \mathbb{I} \otimes$ antes y después de cada operador de escalera. A veces la gente llama a esto un espacio de Fock, pero no es realmente un espacio de Fock. Tiene propiedades similares, pero su construcción es muy diferente [1].

Para la dinámica, se utiliza la imagen de Heisenberg y, en particular, la ecuación de Heisenberg ( no la ecuación de Schrodinger):

$$ \frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}t} = i\left[H,\phi\right] \\ \frac{\mathrm{d}\pi}{\mathrm{d}t} = i\left[H,\pi\right] $$

donde $\pi = \frac{\partial\phi}{\partial t}$ es el momento conjugado del campo definido de la forma habitual a partir de la Lagrangiana. Una vez más, al revisar el álgebra se encuentra que el campo obedece a la ecuación de Klein-Gordon:

$$ \left(\Box + m^2\right)\phi = 0 $$

Naturalmente, esta es una afirmación bastante extraña para hacer sobre el universo. ¿Por qué todas las partículas son excitaciones de un oscilador armónico? ¿Es sólo una aproximación, como tantas cosas en la física que se modelan mediante osciladores armónicos, o hay algo más fundamental?

Obviamente, la respuesta es que hay algo más fundamental. Para verlo, hay que fijarse en la estructura geométrica diferencial de la variedad del espaciotiempo, y en particular en las diferentes representaciones de su grupo de isotropía (el grupo de Lorentz). Al hacer esto, se ve que la imagen del espacio de posición es el punto de partida natural y, sorprendentemente, se convierte en osciladores armónicos cuando se hace una transformación de Fourier. En esencia, éste es el verdadero formalismo matemático de la cuantificación canónica.

Estoy encantado de entrar en los detalles técnicos de esta construcción si quieres (también explica los campos vectoriales y los campos espinores, cosa que el enfoque anterior no hace), pero es sobre todo de interés matemático y filosófico más que algo práctico con los cálculos. (También es útil si quieres ver la unificación y esas cosas, supongo).

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[1]: En particular, $\mathcal{H}$ viene ya equipado con la idea de indistinguibilidad incorporada, porque si vas a llamar al estado $|2\rangle$ de un oscilador armónico un estado de 2 partículas (donde ambas tienen el mismo momento), ya no existe el concepto de "qué partícula es 1 y cuál es 2".